Théorème de Pythagore : preuve du théorème

En rangeant de deux façons les mêmes pièces dans un même carré, on montre que dans tout triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Objectifs

Rappeler l’énoncé exact du théorème de Pythagore et le vocabulaire (hypoténuse, côtés de l’angle droit).
Comprendre la différence entre vérifier sur un exemple et démontrer pour tous les triangles rectangles.
Suivre et refaire deux démonstrations classiques fondées sur les aires.

1. Ce qu’il faut démontrer

Légende d’abord le triangle rectangle : place chaque nom au bon endroit.

Les deux preuves de ce cours utilisent deux outils connus :

l’aire d’un carré de côté \(x\) : \(x^2\) ;
l’aire d’un triangle rectangle de côtés de l’angle droit \(a\) et \(b\) : \(\dfrac{a\times b}{2}\) (c’est la moitié d’un rectangle \(a\times b\)) ;
l’identité remarquable \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\).

Dans un triangle \(RST\) rectangle en \(S\), quelle égalité donne le théorème de Pythagore ?

\(RS^2=RT^2+ST^2\)
\(RT^2=RS^2+ST^2\)
\(ST^2=RS^2+RT^2\)

L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit \(S\), donc \([RT]\). C’est son carré qui est égal à la somme des deux autres carrés.

2. Première preuve : le grand carré et les quatre triangles

On prend quatre copies du même triangle rectangle (côtés \(a\), \(b\), hypoténuse \(c\)) et on les place dans un carré de côté \(a+b\). Suis la construction :

On dessine un grand carré de côté \(a+b\) et on place un triangle dans chaque coin : chaque côté du grand carré est coupé en un morceau \(a\) et un morceau \(b\).

Au centre reste un quadrilatère dont les quatre côtés sont des hypoténuses, donc de longueur \(c\). Ses angles sont droits (voir l’encadré plus bas) : c’est un carré d’aire \(c^2\).

On calcule l’aire du grand carré de deux façons : d’un bloc, \((a+b)^2\) ; morceau par morceau, quatre triangles plus le petit carré.

Le calcul de la preuve

Essaie d’écrire l’égalité des deux aires avant de dévoiler les étapes.

Aire d’un bloc : \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\).

Aire morceau par morceau : \(4\times\dfrac{ab}{2}+c^2=2ab+c^2\).

C’est la même surface, donc \[ a^2+2ab+b^2=2ab+c^2. \]

On retire \(2ab\) des deux côtés : \[ a^2+b^2=c^2. \] Le théorème est démontré pour n’importe quelles longueurs \(a\), \(b\), \(c\).

Exemple résolu : la preuve avec des nombres

Refais la preuve avec \(a=3\) et \(b=4\) pour retrouver \(c\). Cherche d’abord.

Voir la solution

\begin{align} (3+4)^2&=4\times\frac{3\times 4}{2}+c^2\\ 49&=24+c^2\\ c^2&=25. \end{align}

Comme \(c\) est une longueur positive, \(c=5\). On retrouve bien \(3^2+4^2=9+16=25=5^2\).

Dans la première preuve, quelle est l’aire totale des quatre triangles ?

\(ab\)
\(4ab\)
\(2ab\)

Un triangle a pour aire \(\dfrac{ab}{2}\), donc quatre triangles font \(4\times\dfrac{ab}{2}=2ab\).

3. Deuxième preuve : déplacer les mêmes pièces

On reprend un carré de côté \(a+b\) et les quatre mêmes triangles, mais on les range autrement : deux par deux, ils forment deux rectangles \(a\times b\). Il reste alors deux carrés vides, de côtés \(a\) et \(b\).

On place les quatre triangles deux par deux : ils forment deux rectangles de côtés \(a\) et \(b\), chacun coupé par sa diagonale.

La place restante est formée de deux carrés : un de côté \(a\) (aire \(a^2\)) et un de côté \(b\) (aire \(b^2\)).

Dans les deux rangements, on retire la même aire (les quatre triangles) du même grand carré : la place vide est donc la même, et \(a^2+b^2=c^2\).

Pour aller plus loin : la preuve du trapèze

On colle deux copies du triangle et on ferme la figure par l’hypoténuse : on obtient un trapèze rectangle de bases \(a\) et \(b\) et de hauteur \(a+b\), formé de deux triangles d’aire \(\dfrac{ab}{2}\) et d’un triangle rectangle isocèle de côtés \(c\). Montre que l’on retrouve encore \(c^2=a^2+b^2\).

Voir la solution

L’aire d’un trapèze vaut \(\dfrac{(\text{petite base}+\text{grande base})\times\text{hauteur}}{2}\). Donc :

\begin{align} \frac{(a+b)(a+b)}{2}&=2\times\frac{ab}{2}+\frac{c^2}{2}\\ (a+b)^2&=2ab+c^2\\ a^2+2ab+b^2&=2ab+c^2\\ a^2+b^2&=c^2. \end{align}

On a multiplié par \(2\) à la deuxième ligne, puis retiré \(2ab\) des deux côtés.

Dans la deuxième preuve, que vaut la place vide après avoir rangé les quatre triangles en deux rectangles ?

\(a^2+b^2\)
\(c^2\) seulement
\(2ab\)

Il reste deux carrés, de côtés \(a\) et \(b\), donc d’aire totale \(a^2+b^2\). Comme c’est la même place vide qu’au premier rangement (\(c^2\)), on obtient l’égalité.

Avec \(a=6\) et \(b=8\), l’aire du grand carré de la première preuve vaut \(196\). Que vaut \(c^2\) ?

\(148\)
\(100\)
\(196\)

Les quatre triangles ont pour aire \(4\times\dfrac{6\times 8}{2}=96\), donc \(c^2=196-96=100\), soit \(c=10\). On vérifie : \(36+64=100\).

Récapitulatif

Énoncé : dans un triangle rectangle, \(c^2=a^2+b^2\), où \(c\) est l’hypoténuse.
Une démonstration utilise des lettres et vaut pour tous les triangles rectangles ; un exemple ne suffit pas.
Preuve 1 : \((a+b)^2=4\times\dfrac{ab}{2}+c^2\), d’où \(a^2+b^2=c^2\).
Preuve 2 : mêmes pièces dans le même carré, rangées autrement : la place vide vaut \(c^2\) ou \(a^2+b^2\).
Le résultat était déjà utilisé dans plusieurs civilisations anciennes ; il porte le nom du savant grec Pythagore.

Hypoténuse

Côté opposé à l’angle droit, le plus long du triangle rectangle.

Énoncé de Pythagore

Triangle rectangle : \(c^2=a^2+b^2\).

Aire d’un triangle rectangle

\(\dfrac{ab}{2}\), la moitié du rectangle \(a\times b\).

Clé de la preuve 1

\((a+b)^2=4\times\dfrac{ab}{2}+c^2\)

Clé de la preuve 2

Même carré, mêmes triangles : place vide \(c^2=a^2+b^2\).

Exemple ou preuve ?

Un exemple vérifie un cas ; une preuve avec des lettres vaut pour tous les cas.