Primitives des fonctions usuelles
Primitives des fonctions usuelles
Chercher une primitive, c’est faire la dérivation à l’envers : trouver une fonction \(F\) dont la dérivée est la fonction \(f\) donnée.
Objectifs
- Définir une primitive d’une fonction sur un intervalle.
- Savoir que deux primitives d’une même fonction diffèrent d’une constante.
- Connaître le tableau des primitives des fonctions usuelles.
- Utiliser les formes composées \(u'u^n\), \(\dfrac{u'}{u}\), \(u'e^{u}\)… et trouver la primitive qui prend une valeur donnée.
1. Qu’est-ce qu’une primitive ?
Définition. Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\). On appelle primitive de \(f\) sur \(I\) toute fonction \(F\) dérivable sur \(I\) telle que :
\[ \text{pour tout } x \in I, \quad F'(x) = f(x). \]
Exemple : \(F(x) = x^2\) est une primitive de \(f(x) = 2x\) sur \(\mathbb{R}\), car \(F'(x) = 2x\).
Une infinité de primitives
\(x^2\), \(x^2 + 3\) et \(x^2 - 1000\) ont toutes pour dérivée \(2x\) : une constante disparaît quand on dérive. On retient :
\[ \text{Si } F \text{ est une primitive de } f \text{ sur } I, \text{ les primitives de } f \text{ sont les fonctions } x \mapsto F(x) + C,\ C \in \mathbb{R}. \]
Fais varier \(C\) : la courbe de \(F(x) = \dfrac{x^2}{2} + C\) monte ou descend, mais sa pente en chaque point reste égale à \(f(x) = x\) (la droite).
Une primitive qui prend une valeur donnée
Pour \(x_0 \in I\) et un réel \(y_0\), il existe une seule primitive \(F\) de \(f\) telle que \(F(x_0) = y_0\). La condition fixe l’étage, donc la constante.
Laquelle de ces fonctions est une primitive de \(f(x) = 3x^2\) ?
2. Le tableau des primitives usuelles
Dans ce tableau, \(C\) est une constante réelle quelconque et \(n\) un entier.
| Fonction \(f(x)\) | Une primitive \(F(x)\) | Intervalle |
|---|---|---|
| \(a\) (constante) | \(ax\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^n\), \(n \neq -1\) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) | \(\mathbb{R}\) si \(n \geq 0\) ; \(]-\infty;0[\) ou \(]0;+\infty[\) si \(n \leq -2\) |
| \(\dfrac{1}{x^2}\) | \(-\dfrac{1}{x}\) | \(]-\infty;0[\) ou \(]0;+\infty[\) |
| \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) | \(2\sqrt{x}\) | \(]0;+\infty[\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(\ln x\) | \(]0;+\infty[\) |
| \(e^{x}\) | \(e^{x}\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\cos x\) | \(\sin x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\sin x\) | \(-\cos x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(1 + \tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x}\) | \(\tan x\) | \(\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right[\) |
Pour chaque ligne, ajoute \(+\,C\) pour obtenir toutes les primitives.
Une primitive de \(f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}}\) sur \(]0;+\infty[\) est :
3. Les formes composées
Soit \(u\) une fonction dérivable sur \(I\). Ces formes viennent de la dérivée d’une fonction composée :
| Fonction | Une primitive | Condition |
|---|---|---|
| \(u' u^n\), \(n \neq -1\) | \(\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\) | \(u \neq 0\) sur \(I\) si \(n \leq -2\) |
| \(\dfrac{u'}{u^2}\) | \(-\dfrac{1}{u}\) | \(u \neq 0\) sur \(I\) |
| \(\dfrac{u'}{\sqrt{u}}\) | \(2\sqrt{u}\) | \(u > 0\) sur \(I\) |
| \(\dfrac{u'}{u}\) | \(\ln |u|\) | \(u \neq 0\) sur \(I\) |
| \(u' e^{u}\) | \(e^{u}\) | |
| \(u' \cos u\) | \(\sin u\) | |
| \(u' \sin u\) | \(-\cos u\) |
Cas particulier très utile, avec \(u(x) = ax + b\) et \(a \neq 0\) : une primitive de \(\cos(ax + b)\) est \(\dfrac{1}{a}\sin(ax + b)\), et une primitive de \(e^{ax+b}\) est \(\dfrac{1}{a}e^{ax+b}\).
Méthode pour trouver une primitive :
flowchart LR
A[Lire f] --> B{Forme du tableau ?}
B -- oui --> C[Appliquer la ligne]
B -- non --> D[Chercher u et u prime]
D --> E[Ajuster la constante multiplicative]
C --> F[Verifier en derivant]
E --> F
Une primitive de \(f(x) = \cos(2x)\) sur \(\mathbb{R}\) est :
4. Exemples résolus
Exemple 1 : un polynôme
Détermine les primitives sur \(\mathbb{R}\) de \(f(x) = 3x^2 - 4x + 5\).
Exemple 2 : la forme \(u'u^n\)
Détermine une primitive sur \(\mathbb{R}\) de \(f(x) = 2x(x^2 + 1)^3\).
Exemple 3 : la forme \(\dfrac{u'}{u}\)
Détermine une primitive sur \(\mathbb{R}\) de \(f(x) = \dfrac{6x}{x^2 + 1}\). Cherche d’abord !
Voir la solution
Avec \(u(x) = x^2 + 1\), \(u'(x) = 2x\) et \(u(x) > 0\). On écrit \(f(x) = 3 \times \dfrac{2x}{x^2 + 1} = 3\,\dfrac{u'(x)}{u(x)}\).
\[ F(x) = 3\ln(x^2 + 1) \]
Vérification : \(F'(x) = 3 \times \dfrac{2x}{x^2+1} = \dfrac{6x}{x^2+1}\).
Exemple 4 : primitive avec une condition
Détermine la primitive \(F\) de \(f(x) = 6x + 2\) sur \(\mathbb{R}\) telle que \(F(1) = 4\).
Exemple 5 : une exponentielle
Détermine une primitive sur \(]0;+\infty[\) de \(f(x) = e^{3x} + \dfrac{1}{x^2}\).
Voir la solution
Une primitive de \(e^{3x}\) est \(\dfrac{1}{3}e^{3x}\) ; une primitive de \(\dfrac{1}{x^2}\) est \(-\dfrac{1}{x}\). Sur \(]0;+\infty[\) :
\[ F(x) = \frac{1}{3}e^{3x} - \frac{1}{x} \]
Une primitive de \(f(x) = 3x^2 e^{x^3}\) sur \(\mathbb{R}\) est :
5. Erreurs fréquentes
Les primitives de \(f(x) = \sin x\) sur \(\mathbb{R}\) sont :
Récapitulatif
- \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\) si \(F' = f\) sur \(I\).
- Les primitives de \(f\) sont les \(F + C\) ; une condition \(F(x_0) = y_0\) fixe \(C\).
- Primitives usuelles : \(x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n+1}\), \(\dfrac{1}{x} \to \ln x\), \(e^x \to e^x\), \(\cos \to \sin\), \(\sin \to -\cos\).
- Formes composées : \(u'u^n\), \(\dfrac{u'}{u}\), \(u'e^u\), \(u'\cos u\)… On vérifie toujours en dérivant.
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