Équations différentielles y' = ay + b : méthodes et solutions

Les équations différentielles du type y' = ay + b permettent de modéliser des phénomènes où une grandeur évolue en fonction d'une autre, comme la croissance ou la décroissance avec un terme de croissance exponentielle plus une constante.

Objectifs

Comprendre la forme générale de l'équation y' = ay + b.
Savoir résoudre cette équation en utilisant la méthode de la variation de la constante ou la formule de la solution générale.
Appliquer la solution à des exemples concrets.

Notions clés

Equation linéaire du premier degré : \( \frac{dy}{dt} = a y + b \).
Solution générale : \( y(t) = y_h(t) + y_p(t) \).
Méthode de résolution : dériver une solution particulière, puis écrire la solution générale.

Exemples résolus

Exemple 1 : Résolution de \( y' = ay + b \)

On considère l'équation \( \frac{dy}{dt} = a y + b \), avec \( a \neq 0 \).

Solution :

On note la solution générale de l'équation homogène \( y' = a y \), qui est \( y_h(t) = C e^{a t} \).
On cherche une solution particulière \( y_p(t) \). Supposons une solution constante : \( y_p(t) = y_0 \).
En substituant dans l'équation : \( 0 = a y_0 + b \), donc \( y_0 = -\frac{b}{a} \).
La solution générale est donc : \[ y(t) = C e^{a t} - \frac{b}{a} \].

Mini-quiz :

Quelle est la forme de la solution générale ?

Une fonction constante
La somme d'une solution homogène et d'une solution particulière
Une explication seulement avec la solution particulière

C'est la bonne, car la solution générale combine la solution homogène et la solution particulière.

Exemple 2 : application à un problème concret

Une population évolue selon l'équation \( \frac{dy}{dt} = 0,02 y + 100 \). Trouvez sa solution.

Solution :

1. La solution homogène : \( y_h(t) = C e^{0,02 t} \).

2. La solution particulière : \( y_p(t) = -\frac{100}{0,02} = -5000 \) (constante).

3. La solution générale : \( y(t) = C e^{0,02 t} - 5000 \).

En utilisant une condition initiale, on peut déterminer \( C \).

Voir la solution détaillée

Supposons que la population initiale est de 1000 personnes à t=0, alors :

On remplace dans la solution générale : \( 1000 = C e^{0} - 5000 \Rightarrow C = 1000 + 5000 = 6000 \).

La solution finale : \( y(t) = 6000 e^{0,02 t} - 5000 \).

Mini-quiz :

Quelle est la particularité de la solution particulière ?

C'est une constante qui neutralise la croissance
C'est une solution oscillante
C'est une solution décroissante

Elle est constante car elle annule la dérivée, représentée par la solution particulière.

Erreurs fréquentes à éviter

Confondre la solution homogène et la particulière, leur rôle est différent.
Oublier d'ajouter la constante d'intégration \( C \) dans la solution générale.
Prendre la solution particulière comme étant forcément une fonction non constante.

Récapitulatif

Forme générale

\( y(t) = y_h(t) + y_p(t) \)

Solution homogène

\( y_h(t) = C e^{a t} \)

Solution particulière

Constante \( y_p = -\frac{b}{a} \) si \( b \neq 0 \)