Primitives et Équations Différentielles : y' = ay + b

Introduction

Les équations différentielles du premier ordre de la forme y' = ay + b sont courantes en mathématiques. Elles modélisent souvent des phénomènes de croissance, de décroissance ou de régulation.

Objectifs

• Trouver la primitive d'une fonction donnée
• Résoudre une équation différentielle linéaire du premier ordre : y' = ay + b

Partie 1 : Primitives

Une primitive F d'une fonction f est une fonction dont la dérivée est égale à f, c'est-à-dire F' = f.

Partie 2 : Résolution de l'équation différentielle y' = ay + b

Étape 1 : Résolution de l'équation homogène

Considérons l'équation homogène associée : y' = ay.

La solution générale est : y_h(x) = C e^{ax}, où C est une constante d'intégration.

Étape 2 : recherche d'une solution particulière

On cherche une solution particulière y_p de la forme constante, c'est-à-dire y_p = y₀.

En substituant dans l'équation :

0 = ay0 + b

On obtient : y₀ = -b / a, à condition que a ≠ 0.

Étape 3 : solution générale

La solution générale de l'équation différentielle est la somme de la solution homogène et d'une solution particulière :

y(x) = C e^{ax} - rac{b}{a}

où C est une constante déterminée par les conditions initiales.

Cas particulier : a = 0

Si a = 0, l'équation devient : y' = b, une équation simple dont la solution est :

y(x) = bx + C

avec C une constante d'intégration.

Résumé

• Pour a ≠ 0, la solution est y(x) = C e^{ax} - b/a.
• Pour a = 0, la solution est y(x) = bx + C.

Exemple

Résoudre l'équation : y' = 3y + 6.

Solution :

• Solution homogène : y_h = C e^{3x}
• Partie particulière : y_p = -6/3 = -2
• Solution générale : y(x) = C e^{3x} - 2