Introduction

Les équations différentielles de la forme \( y' = ay + b \) où \( a \) et \( b \) sont des constantes, sont appelées équations différentielles linéaires du premier ordre. Leur résolution permet de modéliser de nombreux phénomènes, comme la croissance ou la décroissance exponentielle, les phénomènes de chauffage, etc.

Objectifs

• Comprendre la résolution de l'équation \( y' = ay + b \).
• Déterminer la primitive associée au cas non homogène.
• Exploiter la solution générale pour des applications concrètes.

Étape 1 : Résolution de l'équation homogène

Considérons d'abord l'équation homogène associée : \( y' = ay \).

Solution générale : \(\displaystyle y_h = Ce^{ax}\), où \(C\) est une constante arbitraire.

Étape 2 : Résolution de l'équation complète

Pour l'équation \( y' = ay + b \), on cherche une solution particulière \( y_p \) de la forme constante, c'est-à-dire \( y_p = y_0 \).

En remplaçant dans l'équation : \(\displaystyle 0 = ay_0 + b \Rightarrow y_0 = -rac{b}{a}\) (si \( a eq 0 \)).

La solution générale est donc :

\[ y(x) = Ce^{ax} - rac{b}{a} \]

où \( C \) est une constante arbitraire déterminée par les conditions initiales.

Cas particulier : \( a=0 \)

Si \( a=0 \), l'équation devient \( y' = b \). La primitive est alors :

\[ y(x) = bx + C \]

Résumé

Pour résoudre l'équation \( y' = ay + b \) :

1. Résoudre l'équation homogène : \( y_h = Ce^{ax} \).
2. Trouver une solution particulière : \( y_p = -rac{b}{a} \) (pour \( a eq 0 \)).
3. La solution générale : \( y(x) = y_h + y_p = Ce^{ax} - rac{b}{a} \).

En cas de \( a=0 \), la solution est simplement : \( y(x) = bx + C \).