Primitives et Équations Différentielles : y' = ay + b

Introduction

Les équations différentielles du premier ordre de la forme y' = ay + b, avec a et b constantes, apparaissent fréquemment en modélisation mathématique. Nous allons étudier comment résoudre cette équation en utilisant la méthode de séparation et la primitive.

1. Forme de l'équation

L'équation considère la dérivée de y par rapport à la variable indépendante (souvent t) :

\[ y' = ay + b \]

où a et b sont des constantes réelles.

2. Résolution de l'équation

a) Cas particulier : b = 0

Si \(b=0\), l'équation devient :

\[ y' = ay \]

Solution :

\[ y(t) = C e^{a t} \]

b) Cas général : b ≠ 0

Nous cherchons une solution particulière en utilisant la méthode de variation de la constante ou par un changement de variable.

3. Changement de variable

Posons :

\[ z(t) = y(t) + rac{b}{a} \]

Alors :

\[ y = z - rac{b}{a} \]

Calculons y' :

\[ y' = z' \]

Remplaçons dans l'équation :

\[ z' = a \left(z - rac{b}{a} ight) + b \]

Simplifions :

\[ z' = a z - b + b = a z \]

Nous retrouvons une équation homogène :

\[ z' = a z \]

Solution :

\[ z(t) = C e^{a t} \]

Revenons à y :

\[ y(t) = z(t) - rac{b}{a} = C e^{a t} - rac{b}{a} \]

4. Résumé de la solution

La solution générale de l'équation \( y' = ay + b \) est :

\[ y(t) = C e^{a t} - rac{b}{a} \quad ext{avec } C \in \mathbb{R} \]

5. Cas particulier a = 0

Si \(a=0\), l'équation devient :

\[ y' = b \]

Solution :

\[ y(t) = b t + C \]

Conclusion

Les équations différentielles du premier ordre de la forme \( y' = ay + b \) se résolvent en utilisant une substitution pour transformer l'équation en une forme homogène. La solution générale combine une partie exponentielle et une constante.