Introduction

En combinatoire, pour compter le nombre de manières de réaliser une tâche composée, on utilise deux principes fondamentaux : le principe additif et le principe multiplicatif.

Principe additif

Ce principe s'applique lorsque l'on doit choisir entre plusieurs options disjointes. Si une tâche peut être réalisée de a manières dans une configuration et de b manières dans une autre, et si ces configurations sont mutuellement exclusives, alors le nombre total de façons de réaliser la tâche est :

Nombre total = a + b

En général, si on a plusieurs options disjointes, on additionne le nombre de façons pour chaque option.

Principe multiplicatif

Ce principe s'applique lorsque l'on effectue une succession de deux tâches indépendantes, où le choix de la première n'influence pas celui de la seconde. Si la première tâche peut être réalisée de m façons, et la seconde de n façons, alors le nombre total de façons de réaliser la séquence est :

Nombre total = m × n

Ce principe s'applique aussi à des suites de plusieurs étapes, en multipliant le nombre de choix possibles à chaque étape.

Exemples

Exemple 1 : Choix de lettres

On doit choisir une lettre dans l'alphabet, puis un chiffre entre 0 et 9.

• Nombre de lettres : 26
• Chiffres possibles : 10

Nombre de façons de faire le choix :

26 + 10 = 36

Car ces deux options sont disjointes (lettres ou chiffres).

Exemple 2 : Construction d'un mot

Un mot de 3 lettres où chaque lettre peut être choisie parmi 5 lettres différentes, et la position 1 ou 2 peut aussi être remplie d'une étoile.

• Pour la position 1 : 5 choix
• Pour la position 2 : 5 choix
• Pour la position 3 : 5 choix
• Option étoile à la position 1 ou 2 (disjoint avec le choix de lettres à ces positions)

Le nombre total de mots possibles est : (5 × 5 × 5) + (2 options d'étoiles disjointes) = 125 + 2 = 127.

Conclusion

Ces deux principes permettent de compter efficacement le nombre de configurations possibles dans de nombreux problèmes combinatoires.