Les principes additif et multiplicatif permettent de compter efficacement le nombre de cas possibles.

Objectifs

Comprendre les principes additif et multiplicatif en combinatoire.
Appliquer ces principes pour résoudre des problèmes de dénombrement simples.

Notions clés

Principe additif

Le principe additif s'applique lorsque l'on doit choisir parmi deux ou plusieurs options disjointes (non possibles en même temps).

Formule

Si \(A\) et \(B\) sont deux ensembles disjoints, alors le nombre d'éléments dans leur union est :

NOMBRE TOTAL = \(\#A + \#B\)

Principe multiplicatif

Le principe multiplicatif concerne la succession de choix indépendants, où le nombre total de configurations est le produit du nombre de choix possibles à chaque étape.

Formule

Si vous avez \(n\) étapes indépendantes, avec respectivement \(a_1, a_2, ..., a_n\) choix possibles, alors :

NOMBRE TOTAL = \(a_1 \times a_2 \times \dots \times a_n\)

Exemples résolus

Exemple 1

Combien de nombres à 3 chiffres peuvent-on former avec les chiffres 1, 2, 3, à condition de ne pas répéter un chiffre ?

Voir la solution

Choix du premier chiffre : 3 possibilités (1, 2 ou 3).

Choix du deuxième chiffre : 2 possibilités (les deux restants).

Choix du troisième chiffre : 1 possibilité (le seul restant).

Total : \(3 \times 2 \times 1 = 6\)

Erreurs fréquentes

Résumé

Le principe additif : additionner le nombre d’options lorsqu’on ne peut pas faire deux choix en même temps.
Le principe multiplicatif : multiplier les choix successifs lorsque ceux-ci sont indépendants.

Cartes mémo

Principe additif

Additionner les options dans des ensembles disjoints

Principe multiplicatif

Multiplier les options dans une succession indépendante

Exemple

Pantalons (3) + Chemises (2) = 5 ; Choix d’un pantalon puis d’un sac : 3 × 4 = 12