L'énergie mécanique : principe de conservation

Sans frottements, l'énergie mécanique d'un objet est comme l'argent dans une tirelire à deux poches : il passe de la poche « vitesse » (cinétique) à la poche « hauteur » (potentielle) et inversement, mais le total ne change jamais.

Objectifs

Calculer l'énergie cinétique, l'énergie potentielle de pesanteur et l'énergie mécanique d'un solide.
Énoncer le principe de conservation de l'énergie mécanique et ses conditions.
Utiliser la conservation pour calculer une vitesse ou une hauteur.
Interpréter une diminution de l'énergie mécanique en présence de frottements.

1. Rappels : deux formes d'énergie

Énergie cinétique (liée à la vitesse)

Un solide de masse \(m\) en translation à la vitesse \(v\) possède l'énergie cinétique :

\[ E_c = \frac{1}{2} m v^2 \]

avec \(m\) en kilogrammes (\(\mathrm{kg}\)), \(v\) en mètres par seconde (\(\mathrm{m\cdot s^{-1}}\)) et \(E_c\) en joules (\(\mathrm{J}\)).

Énergie potentielle de pesanteur (liée à la hauteur)

Avec un axe vertical \(Oz\) orienté vers le haut et l'origine choisie comme référence (\(E_{pp} = 0\) en \(z = 0\)) :

\[ E_{pp} = m g z \]

avec \(g \approx 9{,}8\ \mathrm{N\cdot kg^{-1}}\) l'intensité de la pesanteur et \(z\) l'altitude en mètres.

Énergie mécanique

L'énergie mécanique est la somme des deux :

\[ E_m = E_c + E_{pp} = \frac{1}{2} m v^2 + m g z \]

Un ballon de \(0{,}5\ \mathrm{kg}\) roule à \(4\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}\) sur le sol, choisi comme référence. Que vaut son énergie mécanique ?

\(2\ \mathrm{J}\)
\(4\ \mathrm{J}\)
\(8\ \mathrm{J}\)

Au sol \(E_{pp} = 0\), donc \(E_m = E_c = \frac{1}{2} \times 0{,}5 \times 4^2 = 0{,}25 \times 16 = 4\ \mathrm{J}\).

2. Le principe de conservation

flowchart LR
  A[Énergie potentielle] -- descente --> B[Énergie cinétique]
  B -- montée --> A
  B -- frottements --> C[Chaleur perdue]

Le pendule, étape par étape

Étape 1 : on lâche la boule en A sans vitesse. Toute son énergie mécanique est potentielle.

Étape 2 : au point le plus bas B (référence), l'énergie potentielle est nulle : toute l'énergie est devenue cinétique, la vitesse est maximale.

Étape 3 : la boule remonte en ralentissant ; en C sa vitesse s'annule à nouveau.

Étape 4 : sans frottements, \(E_m\) est la même en A et en C, donc C est exactement à la même hauteur que A.

Manipule : les deux poches de la tirelire

Le graphique montre une chute libre depuis une hauteur \(H\). En abscisse, la position relative \(x\) entre 0 (sol) et 1 (point de départ), soit \(x = \frac{z}{H}\). Les trois courbes sont \(E_{pp} = m g H x\), \(E_c = m g H (1 - x)\) et \(E_m = m g H\), avec \(g = 9{,}8\ \mathrm{N\cdot kg^{-1}}\). Fais varier la masse \(m\) (en kg) et la hauteur \(H\) (en m) : la droite horizontale \(E_m\) reste toujours la somme des deux autres.

Sur le graphique, à mi-hauteur (\(x = 0{,}5\)), comment se partage l'énergie mécanique ?

Moitié cinétique, moitié potentielle.
Tout est cinétique.
Tout est potentiel.

À mi-hauteur, \(E_{pp} = \frac{1}{2} m g H\) : l'objet a perdu la moitié de son énergie potentielle, qui est devenue cinétique. Les deux courbes se croisent à \(\frac{E_m}{2}\).

3. Exemples résolus

Exemple 1 : la mangue

Référence : le sol (\(z = 0\)). Seul le poids agit, donc \(E_m\) se conserve.

En haut : \(v = 0\) et \(z = h\), donc \[ E_m = m g h = 0{,}2 \times 9{,}8 \times 5 = 9{,}8\ \mathrm{J} \]

Au sol : \(z = 0\), donc \(E_m = \frac{1}{2} m v^2\).

Conservation : \[ \frac{1}{2} m v^2 = m g h \quad \Longrightarrow \quad v = \sqrt{2 g h} \]

Application numérique : \[ v = \sqrt{2 \times 9{,}8 \times 5} = \sqrt{98} \approx 9{,}9\ \mathrm{m\cdot s^{-1}} \] soit environ \(36\ \mathrm{km\cdot h^{-1}}\). La masse s'est simplifiée : sans frottements, une petite et une grosse mangue arrivent à la même vitesse.

Exemple 2 : le ballon lancé vers le haut

Au marché, un enfant lance une balle verticalement vers le haut à \(v_0 = 10\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}\). Quelle hauteur maximale atteint-elle au-dessus du point de lancement (frottements négligés) ? Cherche d'abord.

Voir la solution

Référence au point de lancement. Au départ : \(E_m = \frac{1}{2} m v_0^2\). Au sommet : \(v = 0\), donc \(E_m = m g h_{\max}\).

\[ m g h_{\max} = \frac{1}{2} m v_0^2 \quad \Longrightarrow \quad h_{\max} = \frac{v_0^2}{2 g} = \frac{10^2}{2 \times 9{,}8} = \frac{100}{19{,}6} \approx 5{,}1\ \mathrm{m} \]

Là encore, la masse de la balle n'intervient pas.

Sur une balançoire, l'enfant est lâché sans vitesse \(0{,}8\ \mathrm{m}\) plus haut que le point bas. Quelle est sa vitesse au point bas, sans frottements ? (On prend \(g = 9{,}8\ \mathrm{N\cdot kg^{-1}}\).)

\(0{,}8\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}\)
\(15{,}7\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}\)
\(4{,}0\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}\)

\(v = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2 \times 9{,}8 \times 0{,}8} = \sqrt{15{,}68} \approx 4{,}0\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}\). La valeur \(15{,}7\) est \(v^2\), il manquait la racine carrée.

4. Et s'il y a des frottements ?

En présence de frottements, l'énergie mécanique diminue. Sa variation est égale au travail (négatif) des forces de frottement \(\vec{f}\) :

\[ \Delta E_m = E_{m,\text{final}} - E_{m,\text{initial}} = W(\vec{f}) < 0 \]

L'énergie « perdue » n'est pas détruite : elle est transférée au milieu extérieur, surtout sous forme de chaleur. L'énergie totale, elle, se conserve toujours.

Exemple 3 : le toboggan

Référence : le bas du toboggan. En haut : \[ E_{m,\text{haut}} = m g h = 30 \times 9{,}8 \times 3 = 882\ \mathrm{J} \]

En bas : \[ E_{m,\text{bas}} = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \times 30 \times 6^2 = 540\ \mathrm{J} \]

\(540\ \mathrm{J} \neq 882\ \mathrm{J}\) : l'énergie mécanique ne s'est pas conservée. \[ \Delta E_m = 540 - 882 = -342\ \mathrm{J} \]

Les frottements ont transformé \(342\ \mathrm{J}\) en chaleur. Sans frottements, il serait arrivé à \(v = \sqrt{2 \times 9{,}8 \times 3} \approx 7{,}7\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}\).

Une bille roule dans une gouttière avec frottements. Que fait son énergie mécanique ?

Elle reste constante.
Elle diminue, l'énergie perdue devient de la chaleur.
Elle augmente grâce aux frottements.

Le travail des frottements est négatif : \(\Delta E_m = W(\vec{f}) < 0\). L'énergie n'est pas détruite, elle est transférée sous forme de chaleur.

Récapitulatif

\(E_c = \frac{1}{2} m v^2\), \(E_{pp} = m g z\) (axe vers le haut, référence choisie), \(E_m = E_c + E_{pp}\).
Sans frottements (poids seul ou forces qui ne travaillent pas) : \(E_m\) est constante, et \(\Delta E_c = -\Delta E_{pp}\).
Chute sans vitesse initiale d'une hauteur \(h\) : \(v = \sqrt{2 g h}\), indépendante de la masse.
Avec frottements : \(\Delta E_m = W(\vec{f}) < 0\), l'énergie perdue part en chaleur.

Énergie cinétique

\(E_c = \frac{1}{2} m v^2\), en joules, liée à la vitesse.

Énergie potentielle de pesanteur

\(E_{pp} = m g z\), avec \(z\) mesuré vers le haut depuis une référence choisie.

Énergie mécanique

\(E_m = E_c + E_{pp}\).

Conservation

Sans frottements : \(\Delta E_m = 0\), donc \(\Delta E_c = -\Delta E_{pp}\).

Vitesse après une chute

\(v = \sqrt{2 g h}\), sans dépendre de la masse.

Avec frottements

\(\Delta E_m = W(\vec{f}) < 0\) : l'énergie perdue devient de la chaleur.