Priorités opératoires et simplification d'expressions

Pour calculer juste, on respecte un ordre précis (parenthèses, puissances, multiplications et divisions, puis additions et soustractions) ; pour simplifier une expression, on supprime les parenthèses avec soin, on réduit, puis on factorise.

Objectifs

Appliquer les priorités opératoires dans un calcul numérique.
Supprimer des parenthèses précédées d'un signe \(+\) ou \(-\) sans erreur de signe.
Réduire une expression littérale et la développer.
Factoriser une expression simple avec un facteur commun ou une identité remarquable.

1. L'ordre des opérations

Dans un calcul sans parenthèses ou avec parenthèses, on effectue dans cet ordre :

les calculs entre parenthèses (en commençant par les plus intérieures) ;
les puissances ;
les multiplications et divisions, de gauche à droite ;
les additions et soustractions, de gauche à droite.

flowchart LR
A[Parentheses] --> B[Puissances]
B --> C[Multiplications et divisions]
C --> D[Additions et soustractions]

Une barre de fraction agit comme des parenthèses : on calcule tout le numérateur et tout le dénominateur avant de diviser.

\[ \frac{12 + 8}{2 \times 5} = \frac{20}{10} = 2 \]

Exemple résolu 1

Calcule \(A = 5 + 3 \times (8 - 2)^2 \div 6 - 4\). Cherche d'abord, puis déroule les étapes.

Étape 1 (parenthèses) : \(8 - 2 = 6\), donc \(A = 5 + 3 \times 6^2 \div 6 - 4\).

Étape 2 (puissance) : \(6^2 = 36\), donc \(A = 5 + 3 \times 36 \div 6 - 4\).

Étape 3 (multiplication puis division, de gauche à droite) : \(3 \times 36 = 108\), puis \(108 \div 6 = 18\), donc \(A = 5 + 18 - 4\).

Étape 4 (addition et soustraction, de gauche à droite) : \(A = 23 - 4 = 19\).

Exemple résolu 2 : de gauche à droite

Calcule \(B = 20 - 12 \div 4 \times 3\).

Voir la solution

La division et la multiplication ont la même priorité : on les fait de gauche à droite.

\begin{align} B &= 20 - 3 \times 3 \\ &= 20 - 9 = 11 \end{align}

Erreur à éviter : calculer \(4 \times 3 = 12\) d'abord donnerait \(20 - 1 = 19\), ce qui est faux.

Combien vaut \(2 + 3 \times 4\) ?

\(20\)
\(14\)
\(24\)

La multiplication passe avant l'addition : \(3 \times 4 = 12\), puis \(2 + 12 = 14\).

2. Supprimer des parenthèses et gérer les signes

Pour tous réels \(a\) et \(b\) :

\[ +(a + b) = a + b \qquad +(a - b) = a - b \] \[ -(a + b) = -a - b \qquad -(a - b) = -a + b \]

Parenthèses précédées de \(+\) : on les supprime sans rien changer.
Parenthèses précédées de \(-\) : on les supprime en changeant le signe de chaque terme à l'intérieur.

Exemple résolu 3

Simplifie \(C = 7x - (3x - 5) + (2 - x)\).

Étape 1 : la parenthèse \(-(3x - 5)\) devient \(-3x + 5\) ; la parenthèse \(+(2 - x)\) devient \(2 - x\).

Étape 2 : \(C = 7x - 3x + 5 + 2 - x\).

Étape 3 : on regroupe les termes en \(x\) et les nombres : \(C = (7 - 3 - 1)x + (5 + 2) = 3x + 7\).

Quelle écriture est égale à \(-(2x - 5)\) ?

\(-2x - 5\)
\(2x + 5\)
\(-2x + 5\)

Le signe moins change le signe de chaque terme : \(2x\) devient \(-2x\) et \(-5\) devient \(+5\).

3. Réduire et développer

Réduire une expression, c'est l'écrire avec le moins de termes possible en regroupant les termes semblables :

\[ 4x^2 + 3x - x^2 + 5 - 7x = 3x^2 - 4x + 5 \]

Développer, c'est transformer un produit en somme, grâce à la distributivité :

\[ k(a + b) = ka + kb \qquad (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd \]

Exemple résolu 4

Développe et réduis \(D = 3(2x - 4) - 2(x + 1)\) puis \(E = (x + 3)(2x - 1)\).

Voir la solution

\begin{align} D &= 6x - 12 - 2x - 2 \\ &= 4x - 14 \end{align}

Attention : le \(-2\) multiplie les deux termes de \((x + 1)\), ce qui donne \(-2x - 2\).

\begin{align} E &= x \times 2x + x \times (-1) + 3 \times 2x + 3 \times (-1) \\ &= 2x^2 - x + 6x - 3 \\ &= 2x^2 + 5x - 3 \end{align}

4. Factoriser une expression simple

Factoriser, c'est transformer une somme en produit. C'est l'opération inverse du développement :

\[ ka + kb = k(a + b) \qquad ka - kb = k(a - b) \]

Méthode : repérer le facteur commun à tous les termes, l'écrire devant, puis écrire entre parenthèses ce qui reste.

\begin{align} 6x + 9 &= 3 \times 2x + 3 \times 3 = 3(2x + 3) \\ 5x^2 - 10x &= 5x \times x - 5x \times 2 = 5x(x - 2) \end{align}

Exemple résolu 5 : le facteur commun est une parenthèse

Factorise \(F = (x + 1)(2x - 3) + (x + 1)(x + 4)\).

Étape 1 : le facteur commun est \((x + 1)\).

Étape 2 : \(F = (x + 1)\big[(2x - 3) + (x + 4)\big]\).

Étape 3 : on réduit le crochet : \(2x - 3 + x + 4 = 3x + 1\), donc \(F = (x + 1)(3x + 1)\).

Avec les identités remarquables

Lues de droite à gauche, les identités remarquables permettent de factoriser :

\[ a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \qquad a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 \qquad a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \] \begin{align} x^2 - 9 &= x^2 - 3^2 = (x - 3)(x + 3) \\ x^2 + 6x + 9 &= x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2 = (x + 3)^2 \end{align}

Quelle est la factorisation complète de \(4x^2 - 8x\) ?

\(4(x^2 - 8x)\)
\(4x(x - 2)\)
\(2x(2x - 8)\)

\(4x(x - 2) = 4x^2 - 8x\). Les deux autres sont fausses : \(4(x^2 - 8x) = 4x^2 - 32x\) et \(2x(2x - 8) = 4x^2 - 16x\).

Comment factoriser \(x^2 - 25\) ?

\((x - 5)(x + 5)\)
\((x - 5)^2\)
\((x - 25)(x + 1)\)

\(x^2 - 25 = x^2 - 5^2\) : c'est la forme \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\) avec \(a = x\) et \(b = 5\).

Erreurs fréquentes

Calculer de gauche à droite sans respecter les priorités : \(2 + 3 \times 4\) n'est pas \(20\).
Oublier de changer tous les signes après un \(-\) devant une parenthèse : \(-(3x - 5) \neq -3x - 5\).
Confondre \(-3^2 = -9\) et \((-3)^2 = 9\).
Réduire des termes qui ne sont pas semblables : \(3x + 2x^2\) ne se réduit pas en \(5x^3\).
Oublier un produit dans la double distributivité (il y en a toujours quatre).
S'arrêter à une factorisation incomplète.

Récapitulatif

Ordre : parenthèses → puissances → multiplications et divisions → additions et soustractions (de gauche à droite à priorité égale).
\(-(a - b) = -a + b\) : un moins devant une parenthèse change le signe de chaque terme.
Réduire : regrouper les termes semblables. Développer : produit → somme.
Factoriser : somme → produit, avec un facteur commun ou une identité remarquable.
Vérifier en remplaçant \(x\) par une valeur simple.

Priorités opératoires

Parenthèses, puissances, multiplications et divisions, additions et soustractions

Moins devant une parenthèse

\(-(a - b) = -a + b\) : on change le signe de chaque terme

Réduire

Regrouper les termes semblables

Développer

Transformer un produit en somme : \(k(a + b) = ka + kb\)

Factoriser

Transformer une somme en produit : \(ka + kb = k(a + b)\)

\(a^2 - b^2\)

\((a - b)(a + b)\)