Objectifs

• Appliquer l'ordre des opérations en construisant l'« arbre de calcul » d'une expression.
• Reconnaître la nature d'une expression (somme, différence, produit, quotient) grâce à sa dernière opération.
• Supprimer des parenthèses et des crochets en gérant correctement les signes.
• Réduire une expression et factoriser une expression simple, en choisissant la bonne transformation.

1. L'ordre des opérations et l'arbre de calcul

La règle des priorités

Dans une expression, on effectue dans cet ordre :

1. les calculs entre parenthèses ou crochets, en commençant par les plus intérieurs (une barre de fraction joue le rôle de parenthèses pour son numérateur et son dénominateur) ;
2. les puissances ;
3. les multiplications et divisions, de gauche à droite ;
4. les additions et soustractions, de gauche à droite.

L'arbre de calcul et la dernière opération

On peut dessiner l'ordre des calculs comme une chaîne d'étapes. Voici celle de \(A = 2 + 3 \times (4 - 1)^2\) :

flowchart LR
  E1[Parenthèse 4 moins 1 donne 3] --> E2[Puissance 3 au carré donne 9]
  E2 --> E3[Produit 3 fois 9 donne 27]
  E3 --> E4[Somme 2 plus 27 donne 29]

Donc \(A = 29\). L'opération effectuée en dernier est une addition : on dit que \(A\) est une somme. La dernière opération donne la nature de l'expression.

Exemple résolu 1

Calculer \(B = 20 - 4 \times 3 + 6 \div 2\), puis \(C = -2^2 + (-2)^2\) et \(D = \frac{20 - 2 \times 7}{(1 - 3)^2}\).

2. Supprimer les parenthèses en gérant les signes

Les règles

• Parenthèse précédée de \(+\) : on la supprime sans rien changer : \(a + (b - c) = a + b - c\).
• Parenthèse précédée de \(-\) : on la supprime en changeant le signe de chaque terme : \(a - (b - c) = a - b + c\).
• Parenthèse précédée d'un facteur \(k\) : on distribue \(k\) à chaque terme : \(k(a + b) = ka + kb\), et \(-k(a - b) = -ka + kb\).
• Avec des crochets, on travaille de l'intérieur vers l'extérieur.

Exemple résolu 2

Calculer \(F = 7 - [3 - (5 - 9)]\), puis réduire \(G = 3x - (2x - 5) + (x - 1)\).

3. Réduire, développer ou factoriser : choisir grâce à la structure

Définitions

• Réduire une somme : regrouper les termes de même nature : \(3x + 2 - x + 5 = 2x + 7\).
• Développer : transformer un produit en somme, avec \(k(a + b) = ka + kb\).
• Factoriser : transformer une somme en produit en repérant un facteur commun à tous les termes : \(ka + kb = k(a + b)\).

Exemple résolu 3 : développer et réduire

Développer et réduire \(H = 2(x + 3) - 3(x - 1)\).

Exemple résolu 4 : factoriser avec un facteur commun

Factoriser \(K = x^2 - 3x\) puis \(L = (x + 2)(2x - 1) - (x + 2)(x + 4)\).

Erreurs fréquentes

Récapitulatif

• Ordre : parenthèses (de l'intérieur vers l'extérieur), puissances, multiplications et divisions, additions et soustractions, de gauche à droite.
• La dernière opération donne la nature de l'expression : somme (termes) ou produit (facteurs).
• Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chaque terme.
• Développer : produit vers somme. Factoriser : somme vers produit, grâce à un facteur commun.
• Toujours vérifier une transformation en remplaçant \(x\) par une valeur simple.