Probabilités conditionnelles, arbres pondérés et formule des probabilités totales

1. Probabilité conditionnelle (PA(B))

La probabilité conditionnelle de l'événement B sachant A est notée \( P(B|A) \) et se calcule par :

\[ P(B|A) = rac{P(A \cap B)}{P(A)} \quad ext{si } P(A) > 0 \]

Cela signifie que l'on ajuste la probabilité de B en considérant uniquement le contexte où A est vrai.

2. Arbres pondérés

Les arbres pondérés permettent de représenter une suite d'événements successifs avec leurs probabilités. Chaque branche est associée à une probabilité (son poids).

Exemple d'arbre simple :

• Le premier niveau : événement initial avec \( P(A) \) et \( P(\overline{A}) \)
• Les niveaux suivants : probabilités conditionnelles \( P(B|A) \), \( P(\overline{B}|A) \), etc.

Le calcul d'une probabilité totale s'obtient en faisant la somme des produits de probabilités le long des branches menant à un événement.

3. Formule des probabilités totales

Si \(\{A_1, A_2, ..., A_n\}\) est une partition de l'univers (événements mutuellement exclusifs et exhaustifs), alors pour tout événement B :

\[ P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(B|A_i) P(A_i) \]

Cette formule permet de calculer la probabilité de B en utilisant les probabilités conditionnelles par rapport à une partition de l'espace échantillon.

Résumé

• La probabilité conditionnelle \( P(B|A) \) ajuste la probabilité en sachant que A est vrai.
• Les arbres pondérés visualisent les probabilités successives.
• La formule des probabilités totales exprime \( P(B) \) en fonction des \( P(B|A_i) \) et des \( P(A_i) \).