Conditionner change la référence ; un arbre aide à multiplier les chemins et à additionner les cas.

Probabilités conditionnelles et arbres

Objectifs

Définir une probabilité conditionnelle.
Utiliser un arbre et la formule des probabilités totales.
Inverser une condition avec Bayes.

Conditionner : changer le groupe de référence

Pour deux événements \(A\) et \(B\), avec \(P(A)>0\), la probabilité de \(B\) sachant \(A\) est \[P_A(B)=P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}.\] On ne garde comme référence que les cas où \(A\) est réalisé. Ainsi \(P(A\cap B)=P(A)P_A(B)\). Si les événements sont indépendants, \(P_A(B)=P(B)\) ; cela doit être établi, pas supposé.

Données fictives : \(P(A)=0{,}6\) et \(P_A(D)=0{,}1\). Calcule \(P(A\cap D)\).

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On parcourt successivement la branche \(A\), puis la branche \(D\) sachant \(A\).

On multiplie : \(P(A\cap D)=0{,}6\times0{,}1=0{,}06\).

Cette probabilité concerne les deux événements simultanément.

Quel dénominateur intervient dans \(P_A(B)\) ?

\(P(A)\)
\(P(B)\)
\(P(A\cap B)\)

Le groupe de référence est \(A\), dont la probabilité doit être non nulle.

Arbre pondéré et probabilités totales

Les branches issues d’un même nœud ont des probabilités dont la somme vaut \(1\). On multiplie le long d’un chemin. Pour réunir des chemins incompatibles qui réalisent le même événement, on additionne leurs probabilités. Si \(A\) et \(\overline A\) forment les deux cas possibles, alors \[P(D)=P(A)P_A(D)+P(\overline A)P_{\overline A}(D).\] Plus généralement, cette formule s’étend à une partition de l’univers, avec des conditions de probabilité non nulle.

Le schéma reprend uniquement les probabilités fictives de cet exercice ; les nombres des branches ne sont pas des fréquences observées.

flowchart LR
S[Lot choisi] -->|0.6| A[Fournisseur A]
S -->|0.4| B[Fournisseur B]
A -->|0.1| AD[Defaut]
A -->|0.9| AN[Sans defaut]
B -->|0.2| BD[Defaut]
B -->|0.8| BN[Sans defaut]

On donne \(P(A)=0{,}6\), \(P(\overline A)=0{,}4\), \(P_A(D)=0{,}1\), \(P_{\overline A}(D)=0{,}2\). Calcule \(P(D)\).

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Chemin provenant de \(A\) : \(0{,}6\times0{,}1=0{,}06\).

Autre chemin : \(0{,}4\times0{,}2=0{,}08\).

Les deux origines sont incompatibles et couvrent les lots : \(P(D)=0{,}06+0{,}08=0{,}14\).

Pour réunir les deux chemins qui aboutissent à un défaut, quelle opération utilise-t-on ?

Une addition
Une multiplication des deux chemins complets
Une division par deux

Les deux chemins sont incompatibles ; leurs probabilités s’additionnent.

Bayes : inverser la condition

Si \(P(D)>0\), on applique la définition à la nouvelle condition : \[P_D(A)=\frac{P(A\cap D)}{P(D)}=\frac{P(A)P_A(D)}{P(D)}.\] C’est la formule de Bayes. Le numérateur et le dénominateur décrivent le même univers de départ ; on ne peut pas échanger simplement les indices.

Avec les données fictives précédentes, quelle est la probabilité que le lot provienne de A, sachant qu’il présente un défaut ?

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La probabilité commune vaut \(0{,}06\), et la probabilité d’un défaut vaut \(0{,}14\).

\[P_D(A)=\frac{0{,}06}{0{,}14}=\frac{3}{7}\approx0{,}429.\]

Le résultat diffère de la probabilité du défaut sachant A : les groupes de référence ne sont pas les mêmes.

Peut-on affirmer en général \(P_A(D)=P_D(A)\) ?

L’inversion exige le rapport de Bayes, pas un échange de lettres.

Erreurs fréquentes

Résumé

L’arbre organise les cas ; la définition permet ensuite de contrôler chaque calcul.

Cartes mémo

Réponds avant de retourner les cartes.

Condition

\(P_A(B)=P(A\cap B)/P(A)\), si \(P(A)>0\).

Chemin

Multiplier les probabilités successives.

Probabilités totales

Additionner les chemins incompatibles qui couvrent l’événement.

Bayes

Réexprimer une probabilité après inversion de la condition.

Indépendance

Une condition ne modifie pas la probabilité de l’autre événement.