1. Probabilités conditionnelles

La probabilité conditionnelle de l’événement B sachant A est notée P(B|A) et se calcule ainsi :

P(B|A) = 
    \frac{P(A \cap B)}{P(A)}

exemple : si la probabilité de tirer un as est de 4/52 et celle d’avoir un as en étant face à une carte rouge, la probabilité conditionnelle permet d’adapter la probabilité en fonction des nouvelles informations.

2. Indépendance entre événements

Deux événements A et B sont indépendants si :

• puisque P(B|A) = P(B), c’est-à-dire que la connaissance de A n’influence pas la probabilité de B.
• ou encore si P(A \cap B) = P(A) \times P(B).

exemple : le lancer de deux dés sont indépendants, car le résultat du premier n’influence pas celui du second.

3. Arbres de probabilité

Les arbres permettent de représenter graphiquement les différentes issues d’une expérience et leurs probabilités :

• Chaque branche représente un événement ou une étape.
• Les probabilités sont inscrites sur chaque branche.
• Le produit des probabilités sur un chemin donne la probabilité de cette issue.

Exemple : tirer une carte puis relancer pour une deuxième. L’arbre montre toutes les combinaisons possibles.

4. Tableaux croisés

Les tableaux croisés synthétisent des données ou probabilités conditionnelles :

Ce tableau permet de retrouver rapidement les probabilités conditionnelles et d’analyser l’indépendance.

5. Algorithmes Monte Carlo

Les méthodes Monte Carlo simulent de nombreuses expériences aléatoires pour approximer une probabilité ou une valeur :

• Génération aléatoire de résultats selon la distribution à étudier.
• Calcul de la fréquence des résultats favorables.
• Plus le nombre de simulations est élevé, plus l’approximation est précise.

Exemple : estimer la probabilité qu’un point choisi au hasard dans un carré soit à l’intérieur d’un cercle inscrit en utilisant de nombreuses simulations.

Le code simple en pseudo-code :

pour i de 1 à N
    X, Y = générer un point aléatoire dans le carré
    si X2 + Y2 < 1 alors
        compteur += 1
fin
probabilité ≈ (compteur/N) * 4