Probabilités conditionnelles et indépendance

1. Épreuves successives

Une épreuve est une expérience dont le résultat peut varier. Lorsqu'on réalise plusieurs épreuves l'une après l'autre, on parle d'épreuves successives. Par exemple, tirer une carte, puis lancer un dé.

2. Probabilité conditionnelle

La probabilité conditionnelle de l'événement A sachant B s'écrit P(A | B). Elle se calcule par :

P(A | B) = (P(A ∩ B)) / P(B), si P(B) > 0.

Elle représente la probabilité que A se réalise sachant que B est réalisée.

3. Indépendance entre deux événements

Deux événements A et B sont indépendants si la réalisation de l’un ne modifie pas la probabilité de réalisation de l’autre. Formule :

P(A ∩ B) = P(A) × P(B).

Dans ce cas, on a : P(A | B) = P(A) et P(B | A) = P(B).

4. Independence dans les épreuves successives

Lors d’épreuves successives indépendantes, le résultat de la première n’affecte pas celui de la suivante. Par exemple, lancer un dé à chaque étape : le résultat du premier lancer n’influence pas celui du second. La probabilité conjointe est le produit des probabilités :

P(Événement 1 ∩ Événement 2) = P(Événement 1) × P(Événement 2).

Résumé

• Les épreuves successives peuvent être indépendantes ou dépendantes.
• Pour deux événements indépendants, P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
• La notion d’indépendance est essentielle pour simplifier les calculs en probabilités.