Objectifs

• Rappeler les notions de probabilité conditionnelle et d'indépendance.
• Calculer P(A|B) et interpréter les résultats dans des contextes concrets.
• Illustrer les faux positifs et l'effet du taux de base (prévalence) sur l'interprétation d'un résultat.

Rappels rapides

Probabilité conditionnelle: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), si P(B) > 0.

Indépendance: A et B sont indépendants si P(A|B) = P(A) (ou équivalemment P(A ∩ B) = P(A) P(B)).

Exemples de type faux positifs

Les faux positifs apparaissent lorsque le test aboutit à un résultat positif alors que l'événement recherché est peu fréquent dans la population, ou lorsque la précision du test n'est pas parfaite.

1. Exemple 1 : dépistage d'une maladie rare

   Données : prévalence P(D) = 0,01 (1 % des personnes sont atteintes).

   Test: sensibilité P(T+|D) = 0,95, et spécificité P(T-|NonD) = 0,98. Donc P(T+|NonD) = 1 − 0,98 = 0,02.

   Calcul : P(D|T+) = [P(T+|D) P(D)] / [P(T+|D) P(D) + P(T+|NonD) P(NonD)]

   = (0,95 × 0,01) / [(0,95 × 0,01) + (0,02 × 0,99)]

   ≈ 0,0095 / (0,0095 + 0,0198) ≈ 0,324 → ≈ 32,4 %.

   Interprétation : même avec un bon test, une personne positive n’a que ~32 % de chances d’être réellement malade. Le test est utile, mais le taux de base bas limite le « rendement positif ».

2. Exemple 2 : tri des e-mails (spam)

   Données : probabilité qu’un message soit du spam P(Spam) = 0,20.

   Test: probabilité que le test classifie comme spam étant donné que c’est du spam P(T+|Spam) = 0,90 ; et faux positif P(T+|NonSpam) = 0,10.

   Calcul : P(Spam|T+) = [P(T+|Spam) P(Spam)] / [P(T+|Spam) P(Spam) + P(T+|NonSpam) P(NonSpam)]

   = (0,90 × 0,20) / [(0,90 × 0,20) + (0,10 × 0,80)]

   ≈ 0,18 / (0,18 + 0,08) ≈ 0,692 → ≈ 69,2 %.

   Interprétation : un e-mail classé comme spam a environ 69 % de chances d’être réellement du spam; le reste est un faux positif.

Activité guidée (court exercice)

1. Supposons P(D) = 0,02, sensibilité = 0,90, spécificité = 0,95. Calculez P(D|T+).
2. On lit dans les actualités que la prévalence dans une population est faible. Expliquez, en quelques phrases, pourquoi un test fiable peut encore donner beaucoup de faux positifs, et pourquoi il faut considérer la base de la population.

Conclusion

Les probabilités conditionnelles et l’indépendance permettent de comprendre pourquoi un résultat positif n’est pas nécessairement une preuve suffisante. Les faux positifs sont influencés par la prévalence de l’événement recherché dans la population et par les performances du test (sensibilité et spécificité).