Probabilités conditionnelles et indépendance

1. ProbabilitéConditionnelle

La probabilité conditionnelle de B sachant A, notée P(B|A), est donnée par :

P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} ,

à condition que P(A) > 0.

2. ProbabilitéTotale

Si (A_i) est une partition de l'univers (ensemble des possibles) avec P(A_i) > 0, alors :

P(B) = \sum_{i} P(A_{i}) \times P(B|A_{i})

3. Arbres pondérés

Les arbres permettent de représenter graphiquement les événements et leurs probabilités :

• Les branches représentent les événements successifs.
• Les probabilités associées à chaque branche sont les probabilités conditionnelles.
• Leur produit donne la probabilité de la branche correspondante.

Exemple : Si on a un arbre avec A puis B, la probabilité P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A).

4. Indépendance des événements

Deux événements A et B sont indépendants si :

P(B|A) = P(B) ,

ce qui équivaut à :

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

Résumé

• La probabilité conditionnelle permet d'évaluer la chance qu'un événement survienne en connaissant un autre.
• Les arbres pondérés aident à visualiser et calculer ces probabilités.
• La formule des probabilités totales rassemble tout dans des situations partitionnées.
• L'indépendance signifie que la connaissance d'un événement n'influence pas la probabilité de l'autre.