Probabilités conditionnelles, indépendance et formule des probabilités totales

1. Probabilité conditionnelle (PA(B))

La probabilité conditionnelle de l'événement B sachant que A est l'événement A ∩ B sur A:

\[ P(B|A) = rac{P(A \cap B)}{P(A)} \quad ext{si } P(A) > 0 \]

2. Indépendance entre deux événements

Deux événements A et B sont indépendants si la connaissance de A n’affecte pas la probabilité de B. Cela se traduit par :

\[ P(B|A) = P(B) \quad ext{ou encore} \quad P(A \cap B) = P(A) imes P(B) \]

3. Arbres pondérés et calculs de probabilités

Un arbre pondéré est une représentation graphique permettant de visualiser et de calculer des probabilités conditionnelles. Chaque branche est associée à une probabilité.

• Les chemins de l’arbre permettent de trouver la probabilité d’un événement composé en multipliant les probabilités le long du chemin.

4. La formule des probabilités totales

Elle permet de calculer la probabilité d’un événement B en le décomposant selon une partition \(\{A_1, A_2, \ldots, A_n\}\):

\[ P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) imes P(B|A_i) \]

où :

• \(A_i\) sont des événements incompatibles et couvrent tout l’espace des possibles (partition).
• \(P(B|A_i)\) est la probabilité conditionnelle de B sachant A_i.

Exemple illustratif

Supposons que dans une population, 30% des personnes ont la maladie M. Parmi celles-ci, 80% ont un symptôme S. De plus, parmi les personnes sans la maladie, seulement 10% présentent le symptôme.

On désigne par M l’événement "malade" et par S "symptôme" :

• \(P(M) = 0.3\)
• \(P(S|M) = 0.8\)
• \(P(S| eg M) = 0.1\)

Pour calculer la probabilité qu'une personne ait le symptôme S, on utilise la formule des probabilités totales :

\[ P(S) = P(M) imes P(S|M) + P( eg M) imes P(S| eg M) \] \[\quad = 0.3 imes 0.8 + 0.7 imes 0.1 = 0.24 + 0.07 = 0.31 \]