Sur un univers fini, on compte les issues, on calcule des rapports et on utilise des formules simples (union, intersection, complément) pour combiner les événements.

Probabilités sur un univers fini

Objectif : comprendre la notion d'événement, la loi de probabilité, et savoir calculer des probabilités d'union, d'intersection et de complémentaire.

Objectifs

Savoir définir un univers \(\Omega\) et un événement.
Connaître la loi de probabilité sur un univers fini (équiprobabilité / non équiprobabilité).
Calculer \(P(A\cup B)\), \(P(A\cap B)\) et \(P(\overline{A})\).

Notions clés

Univers et événements

Définition : l'univers (ou espace) est noté \(\Omega\). Un événement \(A\) est une partie de \(\Omega\) (une collection d'issues).

Si les issues sont équiprobables et si \(\#\Omega = n\) et \(\#A = k\), alors

\[ P(A) = \frac{k}{n}. \]

Loi de probabilité sur un univers fini

Une loi de probabilité associe à chaque événement \(A\) un nombre \(P(A)\) tel que :

\(0 \le P(A) \le 1\),
\(P(\Omega) = 1\),
si \(A\) et \(B\) sont disjoints (incompatibles) alors \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\).

Union, intersection, complémentaire

Définitions :

Union : \(A\cup B\) contient les issues appartenant à \(A\) ou \(B\) (ou les deux).
Intersection : \(A\cap B\) contient les issues communes à \(A\) et \(B\).
Complémentaire : \(\overline{A}=\Omega\setminus A\), les issues où \(A\) ne se réalise pas.

Formule fondamentale (générale) :

\[ P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B). \]

Si \(A\) et \(B\) sont disjoints alors \(P(A\cap B)=0\) et \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\).

Complémentaire : \[ P(\overline{A}) = 1 - P(A). \]

Schéma (Venn) : positions des régions

Mini-quiz — Notions : Si \(P(A)=0{,}4\) et \(P(B)=0{,}5\) et \(P(A\cap B)=0{,}2\), alors \(P(A\cup B) = ?\)

0{,}9
0{,}7
0{,}3

On applique \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0{,}4+0{,}5-0{,}2=0{,}7\).

Exemples résolus

Exemple 1 — Dé à 6 faces (équiprobable)

Soit \(E\) l'événement "obtenir un nombre pair" et \(M\) l'événement "obtenir un multiple de 3".

Étape 1 — déterminer les issues : \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\). Issues favorables à \(E\) : \(\{2,4,6\}\), donc

\[ P(E) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}. \]

Étape 2 — pour \(M\) : issues favorables \(\{3,6\}\), donc

\[ P(M) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}. \]

Étape 3 — intersection \(E\cap M = \{6\}\), donc

\[ P(E\cap M) = \frac{1}{6}. \]

Étape 4 — union avec la formule :

\[ P(E\cup M) = P(E)+P(M)-P(E\cap M) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{2}{3}. \]

Quel est \(P(E\cup M)\) pour le dé ?

On calcule comme ci‑dessus et on obtient \(2/3\).

Exemple 2 — Urne (non équiprobable possible)

Événement \(R\) = tirer une rouge. \(\#\Omega=5\).

Voir la solution

Si l'équiprobabilité est assumée, \(P(R)=3/5\). Le complémentaire "ne pas tirer rouge" a pour probabilité

\[ P(\overline{R}) = 1 - P(R) = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}. \]

Mini-quiz — Urne : quelle est \(P(\overline{R})\) ?

Complémentaire : \(1-3/5=2/5\).

Erreurs fréquentes

Autre piège : appliquer la formule de l'addition simple \(P(A)+P(B)\) sans vérifier si les événements sont disjoints.

Si \(A\) et \(B\) sont disjoints, que vaut \(P(A\cup B)\) ?

\(P(A)\times P(B)\)
\(P(A)+P(B)\)
\(1-P(A)-P(B)\)

Par définition d'événements disjoints, \(P(A\cap B)=0\), donc l'union est la somme.

Récapitulatif

Formules-clés :

Équiprobabilité : \(P(A)=\dfrac{\#A}{\#\Omega}\).
Union générale : \[ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B). \]
Complémentaire : \[ P(\overline{A})=1-P(A). \]
Disjoints : \(P(A\cap B)=0\) donc \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\).

Cartes mémo

Univers \(\Omega\)

Ensemble de toutes les issues possibles.

Événement

Sous-ensemble de \(\Omega\) ; a une probabilité \(P(A)\).

Union

\(A\cup B\) : "A ou B" ; formule \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\).

Intersection

\(A\cap B\) : issues communes ; si vide, événements disjoints.

Complémentaire

\(P(\overline{A})=1-P(A)\).