Probabilités sur un univers fini : utilisation d’arbres et de tableaux

1. Introduction

En probabilités, lorsqu’on travaille sur un univers fini, il est souvent utile d’organiser les résultats possibles à l’aide d’arbres ou de tableaux. Ces outils facilitent le calcul des probabilités de divers événements.

2. L’arbre de probabilité

L’arbre de probabilité représente toutes les issues possibles d’une expérience combinée où chaque étape a plusieurs résultats possibles.

Exemple : lancer deux dés à six faces
- La première étape est le lancer du premier dé : 6 issues possibles.
- À chaque issue, le second dé est lancé : 6 issues possibles.

On construit un arbre où chaque branche correspond à un résultat possible, en multipliant les probabilités à chaque étape.

2.1. Construction d’un arbre

• Étape 1 : dessiner la racine
• Étape 2 : ajouter les branches pour chaque résultat possible, avec leur probabilité
• Étape 3 : répéter pour chaque nouvelle branche, jusqu’à couvrir tous les résultats

2.2. Calcul des probabilités avec l’arbre

La probabilité qu’une issue spécifique se produise est le produit des probabilités le long du chemin correspondant.

Exemple : probabilité d’obtenir un 3 au premier dé et un 5 au second : \(rac{1}{6} imes rac{1}{6} = rac{1}{36}\).

3. Utilisation de tableaux

Les tableaux permettent de représenter les résultats et de calculer facilement les probabilités.

3.1. Tableaux à deux dimensions

Exemple : lancer deux dés
|   | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 |   |   |   |   |   |   |
| 2 |   |   |   |   |   |   |
| 3 |   |   |   |   |   |   |
| ...|
| 6 |   |   |   |   |   |   |

On complète ce tableau avec 1 pour chaque issue, puis on calcule les probabilités en divisant par 36 (nombre total d’issues).

3.2. Calcul des probabilités

Pour un évènement, par exemple « obtenir un somme 7 » :

Issues favorables : (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)

Il y en a 6. La probabilité est donc : \(rac{6}{36} = rac{1}{6}\).

4. Résumé

• L’arbre de probabilité visualise toutes les issues possibles en un coup d’œil.
• Les tableaux organisent ces résultats de manière synthétique pour faciliter le calcul.
• Les deux outils peuvent être combinés pour résoudre plus facilement des problèmes complexes.