Probabilités sur un univers fini — 2nde

Probabilités sur un univers fini — Utilisation d'arbres et de tableaux

Niveau : classe de 2nde. Objectif : calculer des probabilités dans un univers fini en utilisant des arbres de probabilités ou des tableaux (tableau de contingence).

1. Rappels et vocabulaire

Univers fini : ensemble fini d'issues possibles Ω = {ω1, ω2, ..., ωn}.
Événement : sous-ensemble de Ω. Ex. A ⊂ Ω.
Probabilité P sur un ensemble fini : fonction qui associe à chaque issue ω une valeur p(ω) ≥ 0 et ∑ω∈Ω p(ω) = 1. Pour un événement A, P(A) = ∑ω∈A p(ω).
Loi uniforme : si toutes les issues sont équiprobables, p(ω) = 1/|Ω| pour chaque ω.

2. Arbres de probabilités (expériences successives)

Un arbre représente graphiquement les différentes étapes d'une expérience composée. Chaque branche porte la probabilité conditionnelle de l'étape. Règles utiles :

Probabilité d'une feuille (issue finale) = produit des probabilités le long des branches qui mènent à cette feuille.
Probabilité d'un événement qui regroupe plusieurs feuilles = somme des probabilités de ces feuilles.

Exemple 1 — Tire deux boules sans remise

Urne avec 3 boules : 2 rouges (R) et 1 bleue (B). On tire 2 boules successivement sans remise. Construisons l'arbre :

Étape 1:         /-- R  (2/3)
               /-
             /    \-- B  (1/3)
           /
Départ -
           \    /-- R  (1/2)
             \-
               \-- B  (1/2)
(Probabilités conditionnelles au 2ᵉ tirage selon première couleur)

Calcul des probabilités des issues :

P(R puis R) = (2/3) × (1/2) = 1/3
P(R puis B) = (2/3) × (1/2) = 1/3
P(B puis R) = (1/3) × (1) = 1/3 (puisque après B il reste 2 rouges/2 = 1)

Vérification : 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1.

Ex. Probabilité d'obtenir au moins une bleue = P(RB) + P(BR) = 1/3 + 1/3 = 2/3.

3. Tableaux (tableau de contingence)

Un tableau croisé est pratique pour des expériences à deux caractéristiques (ou deux étapes). Il permet d'écrire les probabilités conjointes, marginales et conditionnelles. On remplit les cases par P(A∩B).

Exemple 2 — Deux lancers d'une pièce non équilibrée

Pièce : P(face)=0.6, P(pile)=0.4. On lance deux fois, indépendance entre lancers.

Tableau des probabilités conjointes :

	2ᵉ lancer : Face	2ᵉ lancer : Pile	Total
1ʳᵉ lancer : Face	0.6×0.6=0.36	0.6×0.4=0.24	0.6
1ʳᵉ lancer : Pile	0.4×0.6=0.24	0.4×0.4=0.16	0.4
Total	0.6	0.4	1

Exemple de lecture : P(1ᵉʳ lancer = Face et 2ᵉ = Pile) = 0.24. Probabilité d'avoir exactement une face = cases (Face,Pile) + (Pile,Face) = 0.24 + 0.24 = 0.48.

4. Probabilités conditionnelles et loi des totalités

Si (B1, B2, ..., Bk) est une partition de Ω, alors pour tout événement A :

P(A) = ∑i P(A ∩ Bi) = ∑i P(Bi) × P(A | Bi)

Sur un arbre, cela se lit comme la somme des probabilités des branches menant à A. Sur un tableau, on somme les cases correspondantes.

Exemple rapide

S'il y a 70% de projecteurs de type X et 30% de type Y ; défaillance en 1 an : X → 2%, Y → 5%. Loi des totalités :

P(défaillance) = 0.7×0.02 + 0.3×0.05 = 0.014 + 0.015 = 0.029 (2.9%).

5. Stratégie pratique pour résoudre un exercice

Identifier les étapes successives (arbre) ou les deux caractéristiques à croiser (tableau).
Déterminer si les issues sont équiprobables ou non, et si les étapes sont indépendantes ou sans remise.
Construire l'arbre : écrire les probabilities conditionnelles sur chaque branche ; multiplier le long d'une branche pour obtenir la probabilité d'une feuille.
Ou construire le tableau : remplir les probabilités conjointes P(A∩B), puis calculer marges et conditionnelles si besoin.
Utiliser somme/prod : somme des feuilles pour un événement, produit pour une branche.

6. Exercices d'entraînement (avec solutions rapides)

Exercice 1 : Urne avec 1 noire, 2 blanches. Tirer 2 fois avec remise. Calculer P(2 blanches).

Réponse : avec remise P(blanche)=2/3 à chaque tirage, donc P(2 blanches)=(2/3)×(2/3)=4/9.

Exercice 2 : Même urne sans remise. Calculer P(au moins une noire).

Réponse : issues possibles (NB, BN, BB) avec probabilités : P(NB)=(1/3)×(0)=0, P(BN)=(2/3)×(1/2)=1/3, P(BB)=(2/3)×(1/2)=1/3. Au moins une noire = P(BN)+P(NB)=1/3+0=1/3. (Vérifier selon calcul de l'arbre.)

Exercice 3 : Deux lancers d'une pièce équitable. Construire l'arbre et le tableau, vérifier P(exactement une face) = 1/2.

Réponse : issues HF, FH → probabilités 1/4+1/4=1/2.

7. Récapitulatif (mémo)

Arbre : Produit le long des branches ; somme pour regrouper des feuilles.
Tableau : remplit P(A∩B), puis calcule marges et conditionnelles.
Vérifier que la somme des probabilités de toutes les feuilles = 1.
En cas de doute, calculez l'événement complémentaire si cela simplifie le calcul.