Produit scalaire — Applications : orthogonalité et distances

Le produit scalaire relie calcul algébrique et notion géométrique d'angle ; il sert à tester l'orthogonalité et à calculer des distances.

Objectifs

Connaître la définition du produit scalaire en coordonnées.
Savoir utiliser le produit scalaire pour détecter l'orthogonalité.
Relier le produit scalaire à la norme d'un vecteur et à la distance entre deux points.

Notion clé : produit scalaire

Définition (plan euclidien)

Pour deux vecteurs \(\vec{u}=(u_1,u_2)\) et \(\vec{v}=(v_1,v_2)\) dans le plan, le produit scalaire est défini par \(\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2\).

Propriétés utiles

Symétrie : \(\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}\).
Bilinéarité : \(\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}\) et \((\lambda\vec{u})\cdot\vec{v}=\lambda(\vec{u}\cdot\vec{v})\).
Norme liée : la norme d'un vecteur se calcule par \(\|\vec{u}\|=\sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}\).

Figure : vecteurs et angle

Si \(\vec{u}=(3,0)\) et \(\vec{v}=(0,4)\), quel est \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) ?

Le produit est \(3\times 0 + 0\times 4 = 0\), donc les vecteurs sont orthogonaux.

Application 1 : orthogonalité

Critère algébrique

Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux ssi \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\).

Exemple

Vérifier si \(\vec{u}=(2,-1)\) et \(\vec{v}=(1,4)\) sont orthogonaux. Cherche d'abord puis vois la solution.

Voir la solution

Étape 1 : calculer le produit scalaire \(\vec{u}\cdot\vec{v}\).

Étape 2 : \(\vec{u}\cdot\vec{v}=2\times 1 + (-1)\times 4 = 2-4 = -2\).

Conclusion : \(-2\neq 0\) donc les vecteurs ne sont pas orthogonaux.

Quel vecteur \(\vec{w}\) parmi les suivants est orthogonal à \(\vec{a}=(2,3)\) ?

\((1,1)\)
\((2,3)\)
\((3,-2)\)

On cherche \(2\times x + 3\times y =0\). Pour (3,-2) : \(2\times3+3\times(-2)=6-6=0\).

Application 2 : distances et normes

Norme d'un vecteur et distance entre points

Pour \(\vec{u}=(u_1,u_2)\) on pose \(\|\vec{u}\|=\sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}=\sqrt{u_1^2+u_2^2}\).

La distance entre deux points \(A(x_A,y_A)\) et \(B(x_B,y_B)\) est \[AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}.\]

Lien avec le produit scalaire

Si \(\vec{AB}=\vec{u}\), alors \(AB=\|\vec{u}\|=\sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}\).

Exemple

Calculer la distance entre \(A(1,2)\) et \(B(4,-1)\). Cherche puis affiche la résolution étape par étape.

Voir la solution

Étape 1 : vecteur \(\vec{AB}=(4-1,\,-1-2)=(3,-3)\).

Étape 2 : norme \(\|\vec{AB}\|=\sqrt{3^2+(-3)^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}\).

Étape 3 : simplification \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\). Donc \(AB=3\sqrt{2}\).

Distance entre \(P(0,0)\) et \(Q(3,4)\) ?

\(\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\).

Erreurs fréquentes

Ne pas mettre le bon signe sur une composante (erreur de signe change le résultat du produit).
Penser que produit scalaire = produit de normes ; ce n'est pas vrai : on a \(\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta\).

Récapitulatif

Définition : pour \(\vec{u}=(u_1,u_2)\) et \(\vec{v}=(v_1,v_2)\), \(\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2\).
Orthogonalité : \(\vec{u}\perp\vec{v}\) ssi \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\).
Norme : \(\|\vec{u}\|=\sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}\), distance entre points calculée par la norme du vecteur différence.

Cartes mémo

Produit scalaire (plan)

\(\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2\)

Orthogonalité

\(\vec{u}\perp\vec{v}\iff\vec{u}\cdot\vec{v}=0\)

Norme

\(\|\vec{u}\|=\sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}\)

Distance AB

\(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\)