Produit scalaire — 2nde

Produit scalaire — Applications : orthogonalité et distances

Niveau : 2nde. Objectifs : connaître la définition du produit scalaire dans R² (et R³), utiliser sa relation avec la norme, tester l'orthogonalité, calculer des distances et des angles simples.

1. Définitions et formules essentielles

Soient deux vecteurs u=(u₁,u₂) et v=(v₁,v₂) de R² (idem en R³ avec un terme en plus). Le produit scalaire est défini par :

u · v = u₁·v₁ + u₂·v₂ (et en R³ : u · v = u₁·v₁ + u₂·v₂ + u₃·v₃).

La norme (ou longueur) d'un vecteur u est : ||u|| = sqrt(u · u).

Si θ est l'angle orienté entre u et v, alors :

u · v = ||u|| · ||v|| · cos(θ).

2. Propriétés utiles

Commutativité : u · v = v · u.
Linéarité : (u + w) · v = u · v + w · v et (λu) · v = λ(u · v).
Relation norme/produt : ||u||² = u · u.
Angle : cos(θ) = (u · v) / (||u||·||v||) si ||u|| et ||v|| ≠ 0.

3. Orthogonalité

Deux vecteurs u et v sont orthogonaux (perpendiculaires) si leur produit scalaire vaut zéro :

u ⟂ v ⇔ u · v = 0.

Méthode pour tester l'orthogonalité

Écrire les composantes de u et v.
Calculer u · v = u₁v₁ + u₂v₂ (+ u₃v₃).
Si le résultat est 0, les vecteurs sont orthogonaux.

Exemple

u=(2,−3) et v=(3,2). Calcul : u · v = 2·3 + (−3)·2 = 6 − 6 = 0. Donc u ⟂ v.

4. Distances

Pour deux points A(xA,yA) et B(xB,yB) du plan, le vecteur AB = (xB−xA, yB−yA) et la distance AB est :

AB = ||AB|| = sqrt((xB−xA)² + (yB−yA)²).

Exemple

A(1,2), B(4,6) → AB = sqrt((4−1)² + (6−2)²) = sqrt(9+16) = sqrt(25) = 5.

Distance d'un point à une droite (méthode vectorielle)

Soit la droite passant par P et dirigée par un vecteur v. La distance entre un point M et cette droite est la norme de la composante orthogonale de PM :

d(M, droite) = ||PM − proj_v(PM)|| = ||PM − ( (PM·v)/(v·v) ) v||.

Exemple rapide

Droite passant par P(0,0) dirigée par v=(1,1). Point M(1,0). Alors PM=(1,0).

PM·v = 1·1 + 0·1 = 1 ; v·v = 1+1 = 2 ; proj_v(PM) = (1/2)·v = (1/2,1/2).

Composante orthogonale = PM − proj = (1,0) − (1/2,1/2) = (1/2,−1/2).

Distance = sqrt((1/2)² + (−1/2)²) = sqrt(1/4+1/4)=sqrt(1/2)=1/√2.

5. Calcul d'un angle entre deux vecteurs

Pour trouver l'angle θ entre u et v :

θ = arccos( (u · v) / (||u||·||v||) ).

u=(1,0), v=(1,1) → u·v=1, ||u||=1, ||v||=√2 donc cosθ = 1/√2 ⇒ θ = 45°.

6. Exercices (à faire)

Calculer le produit scalaire et vérifier l'orthogonalité des vecteurs a=(3,−1) et b=(1,3).
Donner la distance entre A(−1,2) et B(2,−2).
Pour la droite d passant par O(0,0) dirigée par v=(2,1) et le point M(3,0), calculer la distance de M à d.
Calculer l'angle entre u=(2,0) et v=(1,1).

7. Solutions (rapidement)

a·b = 3·1 + (−1)·3 = 3 − 3 = 0 → a ⟂ b.
AB = sqrt((2−(−1))² + (−2−2)²) = sqrt(3² + (−4)²) = sqrt(9+16)=sqrt(25)=5.
OM = (3,0). PM·v = 3·2 + 0·1 = 6. v·v = 4+1=5. proj = (6/5)v = (12/5,6/5). Composante orthogonale = (3,0) − (12/5,6/5) = (3/5, −6/5). Distance = sqrt((3/5)² + (−6/5)²) = sqrt(9+36)/5 = sqrt(45)/5 = (3√5)/5.
u·v = 2·1 + 0·1 = 2. ||u||=2, ||v||=√2 → cosθ = 2/(2√2) = 1/√2 ⇒ θ = 45°.

8. Récapitulatif

Produit scalaire en coordonnées : somme des produits des composantes.
u ⟂ v ⇔ u · v = 0. Distance entre points : norme du vecteur différence.
Projection et composante orthogonale permettent de calculer la distance d'un point à une droite.