Produit scalaire

Définition du produit scalaire

Le produit scalaire est une opération mathématique qui associe deux vecteurs à un nombre réel appelé scalaire.

Vecteurs dans un plan ou dans l'espace

On considere deux vecteurs \(ec{u}\) et \(ec{v}\), qui peuvent être représentés dans un plan ou dans l'espace.

Définition du produit scalaire

Le produit scalaire de \(ec{u} = (u_1, u_2)\) et \(ec{v} = (v_1, v_2)\) dans le cas du plan (ou \(ec{u} = (u_1, u_2, u_3)\) et \(ec{v} = (v_1, v_2, v_3)\) dans l'espace) est défini par :

\[ ec{u} \cdot ec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 \quad ext{dans le plan} \]

ou

\[ ec{u} \cdot ec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 \quad ext{dans l'espace} \]

Caractéristiques

• Le résultat est un nombre réel.
• Le produit scalaire est commutatif : \(ec{u} \cdot ec{v} = ec{v} \cdot ec{u}\).
• Il est compatible avec la norme : \(|ec{u}| = \sqrt{ec{u} \cdot ec{u}}\).

Utilité

Le produit scalaire permet notamment de calculer l'angle entre deux vecteurs, ou de vérifier si deux vecteurs sont orthogonaux (perpendiculaires).