Produit scalaire

Définition du produit scalaire

Le produit scalaire est une opération mathématique qui associe deux vecteurs à un nombre réel (un scalaire).

Vecteurs

Un vecteur est une grandeur ayant une direction, une longueur ( norme ) et un sens.

Définition

Soient deux vecteurs u et v dans un espace à n dimensions. Le produit scalaire de u et v, noté u · v, est défini comme :

u · v = u1b1 + u2b2 + ... + unbn

où u_i et b_i sont les composantes de u et v.

Propriétés importantes

• Le produit scalaire est commutatif :
  u · v = v · u
• Il est linéaire :
  (a u + b v) · w = a (u · w) + b (v · w)
• Le produit scalaire d’un vecteur avec lui-même donne la norme au carré :
  u · u = ||u||²

Utilité

Le produit scalaire permet de mesurer l’angle entre deux vecteurs et de vérifier leur orthogonalité (perpendicularité).