1. Introduction au produit scalaire

Le produit scalaire, aussi appelé produit intérieur, est une opération qui associe deux vecteurs à un nombre appelé scalaire. Il est noté \( ec{u} \cdot ec{v} \).

2. Définition du produit scalaire

Pour deux vecteurs \( ec{u} = (u_1, u_2) \) et \( ec{v} = (v_1, v_2) \), le produit scalaire est défini par :

\[ ec{u} \cdot ec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 \]

Ce produit est commutatif : \( ec{u} \cdot ec{v} = ec{v} \cdot ec{u} \)

3. Application au calcul d’angles

3.1. lien entre produit scalaire et angle

Le produit scalaire est lié à l’angle \( heta \) entre les vecteurs par la formule :

\[ ec{u} \cdot ec{v} = \|ec{u}\| 	imes \|ec{v}\| 	imes \cos 	heta \]

où \( \|ec{u}\| \) et \( \|ec{v}\| \) sont les normes (longueurs) des vecteurs :

\[ \|ec{u}\| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2} \quad 	ext{et} \quad \|ec{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2} \]

3.2. Calcul de l’angle

Pour trouver \( heta \), on utilise la formule :

\[ \cos 	heta = rac{ec{u} \cdot ec{v}}{\|ec{u}\| 	imes \|ec{v}\|} \]

Et, en isolant \( heta \), on obtient :

\[ 	heta = rccos \left( rac{ec{u} \cdot ec{v}}{\|ec{u}\| 	imes \|ec{v}\|} 
ight) \]

3.3. Exemple de calcul

Vecteurs : \( ec{u} = (3, 4) \), \( ec{v} = (4, 3) \)

Calcul du produit scalaire :

\[ ec{u} \cdot ec{v} = 3 	imes 4 + 4 	imes 3 = 12 + 12 = 24 \]

Calcul des normes :

\[ \|ec{u}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \]
\[ \|ec{v}\| = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5 \]

Calcul de \( heta \) :

\[ \cos 	heta = rac{24}{5 	imes 5} = rac{24}{25} \]
\[ 	heta = rccos \left( rac{24}{25} 
ight) pprox 16,26^\circ \]