Produit scalaire et lien avec l’angle entre deux vecteurs

1. Rappel sur le produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), noté \(\vec{u} \cdot \vec{v}\), est défini par :

\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \times |\vec{v}| \times \cos \theta \]

où \( |\vec{u}| \) et \( |\vec{v}| \) représentent leurs normes (longueurs), et \( \(\theta \) est l’angle entre \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).

2. Lien entre produit scalaire et angle

Cette formule montre que le produit scalaire est lié à l’angle \(\theta\) entre deux vecteurs :

• Si \(\vec{u} \cdot \vec{v} > 0\), l’angle \(\theta\) est aigu (\(< 90^\circ\)).
• Si \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\), alors \(\theta = 90^\circ\), les vecteurs sont orthogonaux.
• Si \(\vec{u} \cdot \vec{v} < 0\), alors \(\theta\) est obtus (\(> 90^\circ\)).

3. Calcul de l’angle entre deux vecteurs

Pour déterminer l’angle \(\theta\) entre deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), on utilise la formule :

\[ \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \times |\vec{v}|} \]

Puis, on calcule \(\theta = rccos \left( \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \times |\vec{v}|} \right)\).

4. Résumé

• Le produit scalaire permet de connaître l’angle entre deux vecteurs.
• Il est relié à l’angle par la relation : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos \theta\).
• En isolant \(\theta\), on obtient : \(\theta = rccos \left( \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} \right)\).