Produit scalaire et lien avec l’angle entre deux vecteurs

1. Le produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), noté \(\vec{u} \cdot \vec{v}\), est un nombre qui caractérise leur relation. Si \(\vec{u} = (u_1, u_2)\) et \(\vec{v} = (v_1, v_2)\), alors :

\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 \]

2. La formule du lien avec l’angle

Le produit scalaire est lié à l’angle \(\theta\) entre les deux vecteurs par la formule :

\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos \theta \]

où \(\|\vec{u}\|\) et \(\|\vec{v}\|\) sont les normes (longueurs) des vecteurs :

\[ \|\vec{u}\| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2} \quad \text{et} \quad \|\vec{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2} \]

3. Déduire l’angle entre deux vecteurs

Pour trouver l’angle \(\theta\) entre \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), on utilise la formule :

\[ \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|} \]

Et donc :

\[ \theta = rccos \left( \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|} \right) \]

4. Exemple

S’il est donné que \(\vec{u} = (3, 4)\) et \(\vec{v} = (4, 3)\), trouvons l’angle entre eux :

Calcul du produit scalaire :

\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 4 + 4 \times 3 = 12 + 12 = 24 \]

Calcul des normes :

\[ \|\vec{u}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

\[ \|\vec{v}\| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \]

Calcul de \(\cos \theta\) :

\[ \cos \theta = \frac{24}{5 \times 5} = \frac{24}{25} \]

Calcul de \(\theta\) :

\[ \theta = rccos \left( \frac{24}{25} \right) \]

Ce qui donne une valeur approchée de l’angle en radians ou degrés selon la calculatrice.