Produit scalaire et lien avec l’angle entre deux vecteurs

1. Le produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs \(ec{u}\) et \(ec{v}\), noté \(ec{u} \cdot ec{v}\), est un nombre qui caractérise leur relation. Si \(ec{u} = (u_1, u_2)\) et \(ec{v} = (v_1, v_2)\), alors :

\[ ec{u} \cdot ec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 \]

2. La formule du lien avec l’angle

Le produit scalaire est lié à l’angle \( heta\) entre les deux vecteurs par la formule :

\[ ec{u} \cdot ec{v} = \|ec{u}\| imes \|ec{v}\| imes \cos heta \]

où \(\|ec{u}\|\) et \(\|ec{v}\|\) sont les normes (longueurs) des vecteurs :

\[ \|ec{u}\| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2} \quad ext{et} \quad \|ec{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2} \]

3. Déduire l’angle entre deux vecteurs

Pour trouver l’angle \( heta\) entre \(ec{u}\) et \(ec{v}\), on utilise la formule :

\[ \cos heta = rac{ec{u} \cdot ec{v}}{\|ec{u}\| imes \|ec{v}\|} \]

Et donc :

\[ heta = rccos \left( rac{ec{u} \cdot ec{v}}{\|ec{u}\| imes \|ec{v}\|} ight) \]

4. Exemple

S’il est donné que \(ec{u} = (3, 4)\) et \(ec{v} = (4, 3)\), trouvons l’angle entre eux :

Calcul du produit scalaire :

\[ ec{u} \cdot ec{v} = 3 imes 4 + 4 imes 3 = 12 + 12 = 24 \]

Calcul des normes :

\[ \|ec{u}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

\[ \|ec{v}\| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \]

Calcul de \(\cos heta\) :

\[ \cos heta = rac{24}{5 imes 5} = rac{24}{25} \]

Calcul de \( heta\) :

\[ heta = rccos \left( rac{24}{25} ight) \]

Ce qui donne une valeur approchée de l’angle en radians ou degrés selon la calculatrice.