Produit scalaire et lien avec l’angle entre deux vecteurs

1. Rappel sur les vecteurs

Un vecteur est une quantité qui possède une norme (longueur) et une direction. On note généralement un vecteur u par u = (x₁, y₁) dans le plan ou u = (x₁, y₁, z₁) dans l’espace.

2. Définition du produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs u = (x₁, y₁) et v = (x₂, y₂) est défini par :
u · v = x₁x₂ + y₁y₂

Cette formule s’applique aussi dans l’espace :
u · v = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂

3. Caractéristiques du produit scalaire

• Il est commutatif : u · v = v · u.
• Il est distributif par rapport à l’addition : u · (v + w) = u · v + u · w.
• Il est bilinéaire et associatif par rapport à la multiplication par un scalaire.

4. Relation entre produit scalaire et angle

Le produit scalaire est relié à l’angle θ entre deux vecteurs par la formule :

u · v = ||u|| · ||v|| · cos θ

où :

• ||u|| = √(x₁² + y₁²) est la norme de u.
• ||v|| = √(x₂² + y₂²) est la norme de v.

5. Déduction de l’angle

Pour trouver l’angle θ entre u et v, on utilise :

cos θ = (u · v) / (||u|| · ||v||)

et donc :

θ = arccos [(u · v) / (||u|| · ||v||)]

6. Exemple simple

Vecteurs : u = (3, 4) et v = (4, 3).

Calcul du produit scalaire :

u · v = 3×4 + 4×3 = 12 + 12 = 24.

Normes :

||u|| = √(3² + 4²) = 5

||v|| = √(4² + 3²) = 5

cos θ = 24 / (5×5) = 24/25 ≈ 0,96

θ ≈ arccos(0,96) ≈ 16,26°

Conclusion

Le produit scalaire permet de calculer l’angle entre deux vecteurs. Plus le produit scalaire est proche de la produit des normes, plus l’angle est petit (vecteurs proches dans la même direction).