Produit scalaire et projection - 1re

Produit scalaire et projection

Niveau 1re - Thème: Calcul vectoriel et produit scalaire. Détail: définition par projection et par le cosinus.

Rappels et notations

On considère des vecteurs u et v du plan ou de l'espace.
La norme (ou longueur) de u est notée ||u||.
L'angle orienté entre u et v est noté θ lorsqu'il est pertinent.

Définition par le cosinus

Définition : Le produit scalaire de deux vecteurs u et v est défini par la relation

u · v = ||u|| · ||v|| · cos θ

où θ est l'angle non orienté entre u et v (0 ≤ θ ≤ π).

Remarques :

Si θ = 90° (vecteurs orthogonaux), alors u · v = 0.
Le produit scalaire peut être positif, nul ou négatif selon l'angle entre les vecteurs.

Définition par projection (interprétation géométrique)

Interprétation : le produit scalaire mesure la longueur de la projection de l'un des vecteurs sur l'autre multipliée par la longueur de ce dernier.

u · v = ||u|| · p,

où p est l'abscisse algébrique (longueur signée) de la projection orthogonale de v sur la direction de u.

D'où la formule de projection d'un vecteur v sur la direction de u :

proj_u(v) = ((u · v) / ||u||²) · u

La longueur signée de cette projection vaut (u · v) / ||u||.

Propriétés essentielles

Commutativité : u · v = v · u.
Bilinearité : pour tous scalaires α, β et vecteurs u, v, w,
(αu + βv) · w = α(u·w) + β(v·w).
Positivité définie : u·u = ||u||² ≥ 0, égal à 0 si et seulement si u = 0.
Orthogonalité : u ⟂ v ssi u·v = 0.

Formules en coordonnées (base orthonormée)

Dans une base orthonormée du plan, pour u = (u_x, u_y) et v = (v_x, v_y) :

u · v = u_xv_x + u_yv_y et ||u|| = sqrt(u_x² + u_y²)

Cela découle de la définition par le cosinus et des coordonnées dans une base orthonormée.

Exemple numérique

Soient u = (3, 1) et v = (1, 2).

Calcul du produit scalaire en coordonnées
u · v = 3·1 + 1·2 = 3 + 2 = 5

Normes
||u|| = sqrt(3^2 + 1^2) = sqrt(10)
||v|| = sqrt(1^2 + 2^2) = sqrt(5)

Cosinus de l'angle
cos θ = (u · v) / (||u|| · ||v||) = 5 / (sqrt(10)·sqrt(5)) = 5 / sqrt(50) = 1 / sqrt(2) ≈ 0.7071

Projection de v sur u
longueur signée = (u · v) / ||u|| = 5 / sqrt(10) = sqrt(10) / 2 ≈ 1.5811
vecteur proj_u(v) = ((u · v) / ||u||^2) u = (5 / 10)·u = 0.5·(3,1) = (1.5, 0.5)

Exercices rapides

Calculer le produit scalaire, les normes et l'angle entre a = (2, -1) et b = (1, 3).
Donner l'expression de proj_a(b) et la calculer.
Montrer que si u et v sont colinéaires et orientés dans le même sens alors u·v = ||u|| ||v||.

Solutions succinctes

1) a·b = 2·1 + (-1)·3 = 2 - 3 = -1 ||a|| = sqrt(4+1)=sqrt5, ||b|| = sqrt(1+9)=sqrt10 cos θ = -1 / (sqrt5·sqrt10) = -1 / sqrt50

2) proj_a(b) = ((a·b)/||a||^2) a = (-1/5)·a = (-1/5)·(2,-1) = (-0.4, 0.2)

3) Si colinéaires et même sens alors θ = 0 donc cos θ = 1 et u·v = ||u|| ||v||.

Résumé

Deux définitions complémentaires du produit scalaire : par le cosinus et par la projection.
Formules utiles : u·v = ||u|| ||v|| cos θ et proj_u(v) = ((u·v)/||u||^2) u.
En base orthonormée : u·v = u_xv_x + u_yv_y.
Applications : calcul d'angles, projections, vérification d'orthogonalité.