Projeté orthogonal d’un point sur une droite

Introduction

Dans la géométrie, le projeté orthogonal d’un point sur une droite est la position du point la plus proche de cette droite. C’est une notion fondamentale pour comprendre les distances et les constructions géométriques.

Définition

Soit un point \( M \) et une droite \( \Delta \). Le projeté orthogonal de \( M \) sur \( \Delta \), noté \( M' \), est le point d’intersection entre \( \Delta \) et la perpendiculaire issue de \( M \) à cette droite.

Propriétés

• Le segment \( [MM'] \) est perpendiculaire à \( \Delta \).
• Le point \( M' \) est le point de \( \Delta \) le plus proche de \( M \).
• La distance \( d = ext{distance}(M, M') \) est la distance orthogonale entre \( M \) et \( \Delta \).

Construction

1. Traçez la droite \( \Delta \).
2. Passez par le point \( M \) avec une règle et tracez la perpendiculaire à \( \Delta \).
3. Le point d’intersection de cette perpendiculaire avec \( \Delta \) est \( M' \).

Exemple

Supposons un point \( M \) et une droite \( \Delta \). La construction consiste à :

• Tracer la droite \( \Delta \).
• Depuis \( M \), construire la droite perpendiculaire à \( \Delta \).
• Identifier le point d’intersection, qui est le projeté orthogonal \( M' \).

Résumé

Le projeté orthogonal permet de projeter un point sur une droite en le rapprochant le plus possible selon une direction perpendiculaire. C’est une démarche essentielle pour définir la distance la plus courte entre un point et une droite.