Projeté orthogonal d’un point sur une droite

Introduction

En géométrie, le projeté orthogonal d’un point sur une droite est la perpendiculaire abaissée depuis ce point jusqu’à cette droite. Il permet de connaître la position d’un point par rapport à une droite et de faire des constructions précises.

Définition

Soit un point \( M \) et une droite \( (d) \). Le projeté orthogonal de \( M \) sur \( (d) \) est le point \( N \) appartenant à \( (d) \) tel que la droite \( (MN) \) soit perpendiculaire à \( (d) \).

Propriétés

• Le segment \( [MN] \) est perpendiculaire à \( (d) \).
• Le point \( N \) est appelé le projeté orthogonal de \( M \) sur \( (d) \).
• Ce projeté est unique si la droite n’est pas alignée avec \( M \).

Comment construire le projeté orthogonal ?

1. Tracer la droite \( (d) \) et le point \( M \).
2. À l’aide d’une règle et d’un rapporteur, construire une droite perpendiculaire à \( (d) \) passant par le point \( M \).
3. Le point \( N \) d’intersection de cette droite perpendiculaire avec \( (d) \) est le projeté orthogonal de \( M \) sur \( (d) \).

Applications et exemples

Ce procédé est utilisé pour déterminer la distance la plus courte entre un point et une droite, ou pour la construction géométrique dans divers problèmes (ex : projection d’un point en perspective).

Résumé

Le projeté orthogonal d’un point sur une droite consiste à tracer la perpendiculaire à cette droite passant par le point. Le point d’intersection est le projeté orthogonal, permettant de mesurer ou de représenter la distance entre le point et la droite.