Projeté orthogonal d’un point sur une droite

Objectif

Comprendre comment réaliser le projeté orthogonal d’un point sur une droite et connaître ses propriétés.

Définitions

• Point : une position dans l’espace ou dans le plan.
• Droite : une ligne infinie dans le plan.
• Projection orthogonale : le point de la droite le plus proche d’un point donné, obtenu par une perpendiculaire à cette droite.

Procédé

1. Identifiez le point P en dehors de la droite D.
2. Tracez la droite D sur le plan.
3. À partir du point P, tracez une perpendiculaire à la droite D : c'est la [PH] qui forme un angle droit avec D.
4. Le point d'intersection H entre cette perpendiculaire et la droite D est le projeté orthogonal de P sur D.

Propriétés

• Le segment [PH], avec H étant le projeté orthogonal, est perpendicular à D.
• H est le point le plus proche de P sur la droite D.
• La longueur du segment [PH] est la distance minimale entre P et la droite D.

Exemple

Soit P un point en dehors de la droite D. Pour le projeter orthogonalement :

• Tracez la droite D.
• Depuis P, tracez une ligne perpendiculaire à D.
• Le point d'intersection H de cette perpendiculaire avec D est le projeté orthogonal de P.

Conclusion

Le projeté orthogonal d’un point sur une droite est le point où une perpendiculaire passant par le point rencontre la droite. Il permet de déterminer la distance minimale entre le point et la droite.