Projeté orthogonal d’un point sur une droite

Le projeté orthogonal d'un point \(M\) sur une droite \((d)\) est le point \(H\) de \((d)\) tel que \((MH)\) soit perpendiculaire à \((d)\) : c'est le point de la droite le plus proche de \(M\).

Objectifs

Définir et construire le projeté orthogonal d'un point sur une droite.
Savoir que \(MH\) est la plus courte distance entre \(M\) et un point de \((d)\), et le démontrer avec le théorème de Pythagore.
Reconnaître le projeté orthogonal dans un triangle : le pied d'une hauteur.
Utiliser le projeté orthogonal pour calculer des longueurs et des aires.

1. Définition

Soit \((d)\) une droite et \(M\) un point du plan.

Si \(M \notin (d)\) : \(H\) est l'unique point de \((d)\) tel que \((MH) \perp (d)\).
Si \(M \in (d)\) : le projeté de \(M\) est \(M\) lui-même (\(H = M\)).

Le point \(M\) est sur la droite \((d)\). Son projeté orthogonal sur \((d)\) est :

il n'existe pas
le point \(M\) lui-même
n'importe quel point de \((d)\)

La perpendiculaire à \((d)\) passant par \(M\) coupe \((d)\) en \(M\) : donc \(H = M\).

2. Construire le projeté orthogonal

À l'équerre, c'est rapide : on pose un côté de l'angle droit sur \((d)\), on fait glisser jusqu'à \(M\), on trace. Voici la méthode au compas, plus précise :

Pointe du compas en \(M\) : on trace un arc qui coupe \((d)\) en deux points \(A\) et \(B\). Ainsi \(MA = MB\).

Avec le même écartement, pointe en \(A\) puis en \(B\) : les deux petits arcs se coupent en \(N\), de l'autre côté de \((d)\). Ainsi \(NA = NB\).

\(M\) et \(N\) sont sur la médiatrice de \([AB]\), qui est perpendiculaire à \((d)\). La droite \((MN)\) coupe \((d)\) en \(H\), le projeté orthogonal de \(M\) (c'est aussi le milieu de \([AB]\)).

3. La plus courte distance

Légende la figure : place chaque nom sur la bonne partie.

Démonstration

Soit \(N\) un point de \((d)\) différent de \(H\). Le triangle \(MHN\) est rectangle en \(H\), car \((MH) \perp (d)\).

D'après le théorème de Pythagore : \(MN^2 = MH^2 + HN^2\).

Comme \(N \neq H\), on a \(HN^2 > 0\), donc \(MN^2 > MH^2\).

Les longueurs sont positives, donc \(MN > MH\) : \(H\) est le point de \((d)\) le plus proche de \(M\).

\(H\) est le projeté orthogonal de \(M\) sur \((d)\), et \(N\) un autre point de \((d)\). Dans le triangle \(MHN\), le plus long côté est :

\([MH]\)
\([HN]\)
\([MN]\)

Le triangle est rectangle en \(H\) : le plus long côté est l'hypoténuse \([MN]\).

4. Projeté orthogonal et hauteurs d'un triangle

Dans un triangle \(ABC\), la hauteur issue de \(A\) est la droite passant par \(A\) et perpendiculaire à \((BC)\). Son pied \(H\) est le projeté orthogonal de \(A\) sur \((BC)\). L'aire du triangle est :

\[ \mathcal{A} = \frac{BC \times AH}{2} \]

5. Exemples résolus

Exemple 1 : dans un repère

Dans un repère orthonormé, on donne \(M(3\,;\,4)\). Déterminer le projeté orthogonal \(H\) de \(M\) sur l'axe des abscisses, puis la distance de \(M\) à cet axe.

Voir la solution

L'axe des abscisses est horizontal ; la perpendiculaire passant par \(M\) est la droite verticale d'équation \(x = 3\). Elle coupe l'axe en \(H(3\,;\,0)\).

La distance de \(M\) à l'axe est \(MH = 4 - 0 = 4\).

Exemple 2 : le chemin de Kofi

La maison \(M\) de Kofi est à 60 m de la route : \(MH = 60\) m, où \(H\) est son projeté sur la route. La boutique \(N\) est sur la route, à 80 m de \(H\). Quelle distance Kofi parcourt-il s'il va tout droit de \(M\) à \(N\) ? Cherche d'abord.

Le triangle \(MHN\) est rectangle en \(H\).

Pythagore : \(MN^2 = MH^2 + HN^2 = 60^2 + 80^2 = 3\,600 + 6\,400 = 10\,000\).

Donc \(MN = \sqrt{10\,000} = 100\) m, soit 40 m de plus que la distance \(MH\) à la route.

Exemple 3 : un triangle isocèle

Le triangle \(ABC\) est isocèle en \(A\), avec \(AB = AC = 5\) cm et \(BC = 6\) cm. \(H\) est le projeté orthogonal de \(A\) sur \((BC)\). Calculer \(AH\), puis l'aire du triangle.

Voir la solution

Dans un triangle isocèle en \(A\), la hauteur issue de \(A\) est aussi la médiatrice de \([BC]\) : \(H\) est le milieu de \([BC]\), donc \(BH = 3\) cm.

Le triangle \(ABH\) est rectangle en \(H\) : \(AH^2 = AB^2 - BH^2 = 25 - 9 = 16\), donc \(AH = 4\) cm.

\[ \mathcal{A} = \frac{BC \times AH}{2} = \frac{6 \times 4}{2} = 12 \text{ cm}^2 \]

Dans un repère orthonormé, le projeté orthogonal de \(M(-2\,;\,5)\) sur l'axe des abscisses est :

\((-2\,;\,0)\)
\((0\,;\,5)\)
\((5\,;\,-2)\)

On garde l'abscisse \(-2\) et l'ordonnée devient 0 : \(H(-2\,;\,0)\). Le point \((0\,;\,5)\) est le projeté sur l'axe des ordonnées.

6. Erreurs fréquentes

La distance du point \(M(3\,;\,-7)\) à l'axe des abscisses vaut :

3
7
\(-7\)

Le projeté est \(H(3\,;\,0)\) et \(MH = |-7 - 0| = 7\). Une distance est toujours positive.

Récapitulatif

Le projeté orthogonal \(H\) de \(M\) sur \((d)\) est l'intersection de \((d)\) et de la perpendiculaire à \((d)\) passant par \(M\).
Si \(M \in (d)\), alors \(H = M\).
\(MH\) est la plus courte distance de \(M\) à un point de \((d)\) : c'est la distance de \(M\) à \((d)\).
Le pied d'une hauteur d'un triangle est le projeté orthogonal du sommet sur la droite du côté opposé.
Avec le triangle rectangle \(MHN\), Pythagore permet de calculer les longueurs.

Projeté orthogonal

Point \(H\) de \((d)\) tel que \((MH) \perp (d)\).

Point sur la droite

Si \(M \in (d)\), son projeté est \(M\).

Distance d'un point à une droite

\(MH\) : la plus petite des longueurs \(MN\), \(N \in (d)\).

Pied de la hauteur

Projeté orthogonal du sommet sur la droite du côté opposé.

Construction au compas

Arc de centre \(M\) qui coupe \((d)\) en \(A\) et \(B\) : \(H\) est le milieu de \([AB]\).