Proportion et Échelles en Mathématiques

1. La notion de proportion

Deux grandeurs sont proportionnelles si le rapport de leurs valeurs est constant. On dit que ces grandeurs sont en proportion.

Par exemple, si \(a\) et \(b\) sont deux grandeurs telles que \(rac{a}{b} = k\) avec \(k\) constant, alors on note :

• \(\quad a \propto b\), ce qui se traduit par \(a = k imes b\).

2. La règle de trois

Elle permet de résoudre une proportion lorsque trois valeurs sont connues :

1. On écrit la proportion : \(rac{a}{b} = rac{c}{d}\).
2. On cherche la valeur manquante en croisant : \(a imes d = b imes c\).

Par exemple, si 3 stylos coûtent 6 euros, combien coûteront 5 stylos ?

On pose : \(rac{3}{6} = rac{5}{x}\), d'où :

\[ 3 imes x = 6 imes 5 \]

Donc :

\[ x = rac{6 imes 5}{3} = 10 \]

3. Les échelles et leur utilisation

Les échelles permettent de représenter des objets ou des espaces à une taille réduite ou agrandie. L'échelle est le rapport entre la distance sur la carte ou le plan et la distance réelle.

Exemple d'échelle

Si l'échelle d'un plan est 1 : 100000, cela signifie que 1 cm sur le plan correspond à 100000 cm (ou 1 km) dans la réalité.

Pour calculer une distance réelle à partir de la mesure sur le plan :

\[ ext{Distance réelle} = ext{Mesure sur le plan} imes ext{échelle} \]

Exemple pratique

Une route mesure 8 cm sur un plan avec une échelle 1 : 200000. Quelle est la longueur réelle de cette route ?

Calcul :

\[ ext{Longueur réelle} = 8 imes 200000 = 1\,600\,000\, ext{cm} \]

Convertissons en kilomètres :

\[ rac{1\,600\,000}{100\,000} = 16\, ext{km} \]

Résumé

• Une proportionUnits des grandeurs lorsque leur rapport est constant.
• La règle de trois est un outil pour résoudre des proportions.
• Les échelles permettent d'utiliser des plans ou cartes pour représenter des distances réelles.