Propositions logiques avec et, ou, non

Une proposition est une phrase qui est soit vraie, soit fausse ; avec « et », « ou », « non », on en fabrique de nouvelles dont on trouve la vérité grâce à des règles simples, résumées dans des tables de vérité.

Objectifs

Reconnaître une proposition et dire si elle est vraie ou fausse.
Construire et lire les tables de vérité de « non », « et », « ou ».
Distinguer le « ou » mathématique (inclusif) du « ou » du langage courant.
Écrire correctement la négation d'une proposition avec « et » ou « ou ».

1. Qu'est-ce qu'une proposition ?

« 7 est un nombre premier » est une proposition vraie.
« \(2 + 3 = 6\) » est une proposition fausse.
« Dakar est au Sénégal » est une proposition vraie.
« Ferme la porte ! » ou « Quelle heure est-il ? » ne sont pas des propositions : on ne peut pas dire si c'est vrai ou faux.
« \(x > 3\) » dépend de \(x\) : vraie pour \(x = 5\), fausse pour \(x = 1\). On parle de proposition dépendant de \(x\).

Lequel de ces énoncés est une proposition ?

« Révise ton cours de maths. »
« 15 est un multiple de 4. »
« Est-ce que 9 est pair ? »

« 15 est un multiple de 4 » est une proposition (fausse). Un ordre ou une question ne sont ni vrais ni faux.

2. La négation « non »

\(P\)	non \(P\)
V	F
F	V

Exemples : la négation de « \(x > 3\) » est « \(x \le 3\) » ; la négation de « \(n\) est pair » est « \(n\) est impair » (pour un entier \(n\)).

Quelle est la négation de « \(x \ge -2\) » ?

\(x \le -2\)
\(x \ge 2\)
\(x < -2\)

Tous les réels qui ne vérifient pas \(x \ge -2\) sont ceux strictement inférieurs à \(-2\). « \(x \le -2\) » contient \(-2\), qui vérifie pourtant \(x \ge -2\).

3. La conjonction « et » et la disjonction « ou »

\(P\)	\(Q\)	\(P\) et \(Q\)	\(P\) ou \(Q\)
V	V	V	V
V	F	F	V
F	V	F	V
F	F	F	F

Avec des ensembles : si \(P\) est vraie pour les éléments de \(A\) et \(Q\) pour ceux de \(B\), alors « \(P\) et \(Q\) » correspond à l'intersection \(A \cap B\), et « \(P\) ou \(Q\) » à la réunion \(A \cup B\).

Exemple résolu

Pour un entier \(n\), on considère \(P\) : « \(n\) est pair » et \(Q\) : « \(n\) est un multiple de 3 ». Dire si « \(P\) et \(Q\) » et « \(P\) ou \(Q\) » sont vraies pour \(n = 12\), \(n = 9\) et \(n = 7\). Cherche d'abord.

\(n = 12\) : \(P\) vraie (12 est pair), \(Q\) vraie (\(12 = 3 \times 4\)). Donc « \(P\) et \(Q\) » vraie et « \(P\) ou \(Q\) » vraie.

\(n = 9\) : \(P\) fausse, \(Q\) vraie (\(9 = 3 \times 3\)). Donc « \(P\) et \(Q\) » fausse, « \(P\) ou \(Q\) » vraie.

\(n = 7\) : \(P\) fausse, \(Q\) fausse. Donc « \(P\) et \(Q\) » fausse, « \(P\) ou \(Q\) » fausse.

Exemple résolu : avec des intervalles

Écrire sous forme d'intervalle l'ensemble des réels \(x\) tels que « \(x > -1\) et \(x \le 4\) », puis ceux tels que « \(x \le -1\) ou \(x > 4\) ».

Voir la solution

« \(x > -1\) et \(x \le 4\) » : les deux conditions à la fois, donc \(x \in \left]-1\,;\,4\right]\) (intersection).

« \(x \le -1\) ou \(x > 4\) » : l'une ou l'autre, donc \(x \in \left]-\infty\,;\,-1\right] \cup \left]4\,;\,+\infty\right[\) (réunion).

Remarque : le second ensemble est exactement le complémentaire du premier. Ce n'est pas un hasard : c'est la règle de la partie suivante.

\(P\) est vraie et \(Q\) est fausse. Que vaut « \(P\) ou \(Q\) » ?

Vraie
Fausse
On ne peut pas savoir

Il suffit qu'une des deux propositions soit vraie pour que « \(P\) ou \(Q\) » soit vraie.

4. Nier « et » et « ou »

Vérification par la table de vérité de la première règle :

\(P\)	\(Q\)	non(\(P\) et \(Q\))	non \(P\)	non \(Q\)	(non \(P\)) ou (non \(Q\))
V	V	F	F	F	F
V	F	V	F	V	V
F	V	V	V	F	V
F	F	V	V	V	V

Les colonnes 3 et 6 sont identiques : les deux propositions ont toujours la même vérité.

Exemple résolu

Écrire la négation de « \(x > 2\) et \(x < 5\) », puis celle de « Moussa a un vélo ou une moto ».

« et » devient « ou », et on nie chaque morceau : non(\(x > 2\)) est \(x \le 2\), non(\(x < 5\)) est \(x \ge 5\).

Négation : « \(x \le 2\) ou \(x \ge 5\) ». En intervalles : le contraire de \(\left]2\,;\,5\right[\) est \(\left]-\infty\,;\,2\right] \cup \left[5\,;\,+\infty\right[\).

Pour Moussa, « ou » devient « et » : « Moussa n'a pas de vélo et n'a pas de moto ».

Quelle est la négation de « \(n\) est pair ou \(n\) est positif » (pour un entier \(n\)) ?

« \(n\) est impair ou \(n\) est négatif »
« \(n\) est impair et \(n\) est strictement négatif »
« \(n\) est pair et \(n\) est négatif »

On nie chaque morceau (pair devient impair, positif devient strictement négatif) et le « ou » devient « et ».

Erreurs fréquentes

Nier « \(x > a\) » en « \(x < a\) » au lieu de « \(x \le a\) ».
Garder le même connecteur en niant : la négation de « \(P\) et \(Q\) » n'est pas « non \(P\) et non \(Q\) ».
Croire que « \(P\) ou \(Q\) » est fausse quand \(P\) et \(Q\) sont vraies toutes les deux.
Prendre une question ou un ordre pour une proposition.

Récapitulatif

Une proposition est soit vraie, soit fausse.
« non \(P\) » inverse la vérité de \(P\).
« \(P\) et \(Q\) » : vraie seulement si les deux sont vraies (intersection).
« \(P\) ou \(Q\) » : vraie si au moins une est vraie (réunion) ; le « ou » mathématique est inclusif.
non(\(P\) et \(Q\)) = non \(P\) ou non \(Q\) ; non(\(P\) ou \(Q\)) = non \(P\) et non \(Q\).

Proposition

Énoncé qui est soit vrai, soit faux, sans ambiguïté.

« \(P\) et \(Q\) »

Vraie seulement quand \(P\) et \(Q\) sont toutes les deux vraies.

« \(P\) ou \(Q\) »

Vraie dès qu'au moins une des deux est vraie (ou inclusif).

Négation de « \(x > a\) »

« \(x \le a\) »

Lois de De Morgan

non(\(P\) et \(Q\)) = non \(P\) ou non \(Q\) ; non(\(P\) ou \(Q\)) = non \(P\) et non \(Q\).