Produit scalaire : propriétés de bilinéarité et de symétrie

Le produit scalaire se calcule comme un produit ordinaire : on peut échanger l'ordre des vecteurs (symétrie), développer, factoriser et sortir les nombres (bilinéarité), ce qui donne des identités remarquables pour les vecteurs.

Objectifs

Connaître et utiliser la symétrie du produit scalaire.
Connaître et utiliser la bilinéarité : distributivité sur l'addition et sortie d'un réel.
Développer des expressions comme \((2\vec{u}-\vec{v})\cdot(\vec{u}+3\vec{v})\).
Utiliser les identités remarquables vectorielles et la formule de polarisation.
Appliquer ces propriétés à un triangle (théorème d'Al-Kashi).

1. Rappels : les expressions du produit scalaire

Notions clés

Pour deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) non nuls formant un angle \(\theta\) :

\[\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|\times\cos\theta\]

Dans un repère orthonormé, si \(\vec{u}(x;y)\) et \(\vec{v}(x';y')\) :

\[\vec{u}\cdot\vec{v} = xx' + yy'\]

Le carré scalaire d'un vecteur est \(\vec{u}^{\,2} = \vec{u}\cdot\vec{u} = \|\vec{u}\|^2\). Si l'un des vecteurs est nul, \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\).

Dans un repère orthonormé, u(2 ; 3) et v(-1 ; 4). Combien vaut le produit scalaire de u par v ?

(-2 ; 12)
10
14

On multiplie abscisses et ordonnées puis on additionne : 2 × (-1) + 3 × 4 = -2 + 12 = 10. Le résultat est un nombre, pas un couple.

2. La symétrie

Propriété

Pour tous vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) :

\[\vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{v}\cdot\vec{u}\]

Pourquoi ? Avec les coordonnées : \(xx'+yy' = x'x + y'y\), car la multiplication des nombres est commutative. Avec le cosinus : l'angle entre \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) a le même cosinus que l'angle entre \(\vec{v}\) et \(\vec{u}\).

On sait que le produit scalaire de AB par AC vaut 12. Combien vaut le produit scalaire de AC par AB ?

12
-12
On ne peut pas savoir

Par symétrie, l'ordre des deux vecteurs ne change rien : le résultat est encore 12.

3. La bilinéarité

Propriétés

Pour tous vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{w}\) et tout réel \(k\) :

\begin{align} \vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w}) &= \vec{u}\cdot\vec{v} + \vec{u}\cdot\vec{w}\\ (\vec{u}+\vec{v})\cdot\vec{w} &= \vec{u}\cdot\vec{w} + \vec{v}\cdot\vec{w}\\ (k\vec{u})\cdot\vec{v} &= \vec{u}\cdot(k\vec{v}) = k\,(\vec{u}\cdot\vec{v}) \end{align}

On dit que le produit scalaire est bilinéaire : il est linéaire par rapport au premier vecteur ET par rapport au second (« bi » = deux).

Exemple résolu 1 : vérifier la distributivité

Dans un repère orthonormé : \(\vec{u}(2;3)\), \(\vec{v}(-1;4)\), \(\vec{w}(5;-2)\). Vérifie que \(\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w}) = \vec{u}\cdot\vec{v} + \vec{u}\cdot\vec{w}\). Cherche d'abord !

Somme : \(\vec{v}+\vec{w} = (-1+5\,;\,4-2) = (4\,;\,2)\).

Membre de gauche : \(\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w}) = 2\times4 + 3\times2 = 8+6 = 14\).

Membre de droite : \(\vec{u}\cdot\vec{v} = -2+12 = 10\) et \(\vec{u}\cdot\vec{w} = 10-6 = 4\), donc \(10+4 = 14\).

Les deux membres valent 14 : la distributivité est vérifiée.

Exemple résolu 2 : développer sans coordonnées

On sait que \(\|\vec{u}\|=3\), \(\|\vec{v}\|=2\) et \(\vec{u}\cdot\vec{v} = -1\). Calcule \((2\vec{u}-\vec{v})\cdot(\vec{u}+3\vec{v})\).

On développe comme \((2a-b)(a+3b)\) : \(2\vec{u}\cdot\vec{u} + 6\,\vec{u}\cdot\vec{v} - \vec{v}\cdot\vec{u} - 3\,\vec{v}\cdot\vec{v}\).

Symétrie : \(\vec{v}\cdot\vec{u} = \vec{u}\cdot\vec{v}\), donc l'expression vaut \(2\|\vec{u}\|^2 + 5\,\vec{u}\cdot\vec{v} - 3\|\vec{v}\|^2\).

On remplace : \(2\times 9 + 5\times(-1) - 3\times 4 = 18 - 5 - 12\).

Résultat : \((2\vec{u}-\vec{v})\cdot(\vec{u}+3\vec{v}) = 1\).

On sait que le produit scalaire de u par v vaut 5. Combien vaut (3u)·(-2v) ?

-5
15
-30

On sort les deux réels : 3 × (-2) × 5 = -30.

4. Identités remarquables et polarisation

Propriétés

\begin{align} \|\vec{u}+\vec{v}\|^2 &= \|\vec{u}\|^2 + 2\,\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2\\ \|\vec{u}-\vec{v}\|^2 &= \|\vec{u}\|^2 - 2\,\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2\\ (\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v}) &= \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2 \end{align}

De la première, on tire la formule de polarisation, qui donne le produit scalaire à partir de trois longueurs :

\[\vec{u}\cdot\vec{v} = \frac{1}{2}\left(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right)\]

Démonstration de la première : \(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 = (\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v}) = \vec{u}\cdot\vec{u} + \vec{u}\cdot\vec{v} + \vec{v}\cdot\vec{u} + \vec{v}\cdot\vec{v}\), et par symétrie les deux termes du milieu sont égaux.

Manipule : la fonction \(t \mapsto \|\vec{u}+t\vec{v}\|^2\)

Par bilinéarité, \(\|\vec{u}+t\vec{v}\|^2 = \|\vec{v}\|^2\,t^2 + 2(\vec{u}\cdot\vec{v})\,t + \|\vec{u}\|^2\) : c'est un polynôme du second degré en \(t\). Les curseurs n et m sont les normes de u et v, s est leur produit scalaire. Comme un carré de norme n'est jamais négatif, la parabole reste au-dessus de l'axe des abscisses tant que s reste entre \(-nm\) et \(nm\).

Exemple résolu 3 : polarisation

On sait que \(\|\vec{u}\|=4\), \(\|\vec{v}\|=3\) et \(\|\vec{u}+\vec{v}\|=6\). Calcule \(\vec{u}\cdot\vec{v}\).

Voir la solution

\[\vec{u}\cdot\vec{v} = \frac{1}{2}\left(6^2 - 4^2 - 3^2\right) = \frac{1}{2}\left(36-16-9\right) = \frac{11}{2} = 5{,}5\]

Si la norme de u vaut 5 et celle de v vaut 3, combien vaut (u+v)·(u-v) ?

C'est l'identité « somme fois différence » : 5² - 3² = 25 - 9 = 16. Les termes croisés s'annulent grâce à la symétrie.

5. Application : le théorème d'Al-Kashi

On connaît les vecteurs AB et AC partant de A, avec AB = 5, AC = 7 et un angle de 60° entre eux.

Relation de Chasles : le vecteur BC est égal au vecteur AC moins le vecteur AB. On va élever au carré.

Comme \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\), l'identité \(\|\vec{u}-\vec{v}\|^2\) donne :

\[BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = AB^2 + AC^2 - 2\,AB\times AC\times\cos\widehat{A}\]

Calcule \(BC\) pour \(AB=5\), \(AC=7\) et \(\widehat{A}=60^\circ\). Cherche d'abord !

Voir la solution

\begin{align} BC^2 &= 5^2 + 7^2 - 2\times5\times7\times\cos 60^\circ\\ &= 25 + 49 - 70\times\frac{1}{2} = 74 - 35 = 39 \end{align}

Donc \(BC = \sqrt{39} \approx 6{,}24\).

Si l'angle en A est droit, que devient la formule d'Al-Kashi ?

BC = AB + AC
Le théorème de Pythagore
BC² = AB² - AC²

Pour un angle droit, cos 90° = 0 : il reste BC² = AB² + AC², c'est Pythagore.

Erreurs fréquentes

Oublier le double produit : \(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 \neq \|\vec{u}\|^2+\|\vec{v}\|^2\) en général (égalité seulement si \(\vec{u}\perp\vec{v}\)).
Écrire \(\|\vec{u}+\vec{v}\| = \|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|\) : faux en général, on passe toujours par les carrés.
Écrire \((\vec{u}\cdot\vec{v})\cdot\vec{w}\) : \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) est un nombre, on ne peut pas en faire un produit scalaire avec un vecteur.

Schéma récapitulatif

flowchart LR
  A[Symetrie u.v = v.u] --> C[Developper et factoriser]
  B[Bilinearite] --> C
  C --> D[Identites remarquables]
  D --> E[Polarisation]
  D --> F[Al-Kashi]

Récapitulatif

Symétrie : \(\vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{v}\cdot\vec{u}\).
Bilinéarité : \(\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w}) = \vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}\) et \((k\vec{u})\cdot\vec{v} = k\,(\vec{u}\cdot\vec{v})\).
Identités : \(\|\vec{u}\pm\vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 \pm 2\,\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2\) et \((\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v}) = \|\vec{u}\|^2-\|\vec{v}\|^2\).
Polarisation et Al-Kashi en découlent directement.

Symétrie

u·v = v·u : l'ordre des vecteurs ne change pas le résultat.

Distributivité

u·(v + w) = u·v + u·w

Sortir un réel

(ku)·v = u·(kv) = k(u·v) ; avec un réel de chaque côté, on obtient k².

Carré d'une somme

||u + v||² = ||u||² + 2 u·v + ||v||²

Polarisation

u·v = ½ (||u + v||² − ||u||² − ||v||²)

Al-Kashi

BC² = AB² + AC² − 2 AB × AC × cos A