Division écrite - Propriétés de la division

Objectifs

Comprendre ce que signifie diviser un nombre par un autre.
Connaître et utiliser les propriétés simples de la division.
Réaliser des divisions entières et des divisions avec reste, puis vérifier le résultat.

Notions clés

Dans une division, on distingue trois rôles : le dividende (le nombre à partager), le diviseur (par combien on partage) et le quotient (le résultat de la division). Le reste est ce qui peut rester lorsque la division n’est pas exacte.

On écrit les choses de deux façons courantes, en fonction du contexte : dans une phrase, on peut dire que \(a \\div b\) ou en fraction \(\frac{a}{b}\). Pour l’affichage sur une ligne, on peut aussi utiliser une expression avec des délimiteurs display.

Propriétés utiles (introduites progressivement) :

Identité par division par 1 : \(a \\div 1 = a\).
Diviser par soi-même (pour tout a ≠ 0) : \(a \\div a = 1\).
Réciproque et produit : \(\dfrac{a}{b \cdot c} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{1}{c}\) et \(\dfrac{a \cdot d}{b \cdot d} = \dfrac{a}{b}\) (avec d ≠ 0).
Le signe : le quotient est négatif si les signes de a et b diffèrent.
La division n’est pas associative : \((a \\div b) \\div c \\neq a \\div (b \\div c)\) en général.

Répartition de 12 objets en 3 groupes égaux (4 objets par groupe).

Exemple d’application : si on partage \(12\) bonbons entre \(3\) amis, chaque ami reçoit \(12 \\div 3 = 4\).

Quel est le quotient de \(14 \\div 7\) ?

C’est 2, car 7 \\times 2 = 14.

Exemples résolus

Exemple 1 : division entière simple.

\begin{align} 154 \\div 7 &= 22 \\ 7 \\times 22 &= 154 \\ 154 - 154 &= 0 \end{align}

Vérification : on retrouve bien le dividende en faisant 7 \\times 22.

Voir la solution

Étapes complètes :

On cherche combien de fois 7 va dans 154.

On calcule 7 × 22 = 154.

Le reste est 0, donc la division est exacte et le quotient est 22.

Exemple 2 : division entière avec reste.

\begin{align} 85 \\div 4 &= 21 \\ 4 \\times 21 &= 84 \\ 85 - 84 &= 1 \end{align}

On obtient un quotient 21 et un reste 1.

Voir la solution

Solution étape par étape :

Calculer combien de fois 4 va dans 85 -> 21 fois (car 4 × 21 = 84).

Soustraire : 85 − 84 = 1, c’est le reste.

Erreurs fréquentes

Confondre le signe du quotient quand les nombres sont négatifs (au niveau 6e on travaille avec des nombres positifs, mais l’idée s’applique plus tard).
Oublier le reste lorsque le dividende n’est pas multiple du diviseur.
Oublier d’utiliser les propriétés qui permettent de simplifier une division (multiplication et réciproque).

Quelle affirmation est vraie ?

La division est associative.
Si le reste est 0, la division est exacte et le quotient est le résultat.
On peut écrire a ÷ b = a × b sans changer le résultat.

C’est l’option 2: lorsque le reste est 0, on obtient une division exacte.

Récapitulatif rapide

Le quotient est le nombre de fois où le diviseur peut être pris dans le dividende.
Le reste est ce qui reste lorsque le diviseur ne divise pas exactement le dividende.
La division peut être vérifiée par la relation \(a = b \times q + r\) avec 0 \le r < b.
La division n’est pas associative et ne se décompose pas comme une simple somme ou différence.

Cartes mémo

Quotient

Résultat de la division entière (combien de fois le diviseur tient dans le dividende)

Reste

Ce qui reste après la division lorsque le dividende n’est pas multiple du diviseur

Identité

\(a \div 1 = a\)

Relation

\(a = b \times q + r\) avec 0 ≤ r < b

Récapitulatif final

La division écrite repose sur le quotient et le reste, et sur les propriétés qui permettent de simplifier ou de vérifier le résultat. Utilise les exemples et les vérifications pour t’assurer que tu as bien compris.

Mini quiz final

Si 72 est partagé entre 8, quel est le quotient et le reste ?

Quotient 9, reste 0
Quotient 9, reste 1
Quotient 8, reste 0

72 = 8 × 9 + 0, donc quotient 9 et reste 0.