Les propriétés des angles d'un triangle

Dans n'importe quel triangle, les trois angles additionnés font toujours \(180^\circ\) ; cette règle permet de calculer un angle inconnu, de reconnaître les triangles particuliers et de trouver un angle extérieur.

Objectifs

Connaître et justifier la somme des angles d'un triangle.
Calculer la mesure d'un angle inconnu dans un triangle.
Utiliser les propriétés des angles des triangles isocèle, équilatéral et rectangle.
Connaître la propriété de l'angle extérieur d'un triangle.

1. La somme des angles d'un triangle

Pourquoi est-ce toujours vrai ?

On trace la droite (d) qui passe par A et qui est parallèle au côté [BC].

L'angle B (noté \(x\)) et l'angle formé en A entre (d) et [AB] sont alternes-internes : ils ont la même mesure \(x\).

De même, l'angle C (noté \(y\)) se retrouve en A, entre (d) et [AC] : il mesure aussi \(y\).

En A, les angles \(x\), \(a\) et \(y\) forment ensemble un angle plat : \(x + a + y = 180^\circ\), donc la somme des angles du triangle vaut \(180^\circ\).

Exemple résolu 1

Dans le triangle \(ABC\), \(\widehat{A} = 47^\circ\) et \(\widehat{B} = 68^\circ\). Calcule \(\widehat{C}\).

Cherche d'abord, puis déroule les étapes.

Dans un triangle, la somme des angles vaut \(180^\circ\) : \(\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ\).

On additionne les angles connus : \(47^\circ + 68^\circ = 115^\circ\).

On soustrait : \(\widehat{C} = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ\).

Vérification : \(47 + 68 + 65 = 180\). C'est juste.

Exemple résolu 2 : un triangle impossible

Ousmane veut construire un triangle dont les angles mesurent \(90^\circ\), \(60^\circ\) et \(40^\circ\). Est-ce possible ?

Voir la solution

\(90^\circ + 60^\circ + 40^\circ = 190^\circ\). La somme n'est pas égale à \(180^\circ\) : ce triangle n'existe pas. Quelle que soit la longueur des côtés, Ousmane n'arrivera jamais à le tracer.

Dans un triangle, deux angles mesurent \(35^\circ\) et \(80^\circ\). Combien mesure le troisième ?

\(55^\circ\)
\(65^\circ\)
\(115^\circ\)

\(35 + 80 = 115\), puis \(180 - 115 = 65\). Le troisième angle mesure \(65^\circ\).

2. Les triangles particuliers

Triangle isocèle (deux côtés de même longueur) : les deux angles à la base ont la même mesure. Si l'angle au sommet principal mesure \(s\), chaque angle à la base mesure \(\dfrac{180^\circ - s}{2}\).
Triangle équilatéral (trois côtés égaux) : ses trois angles sont égaux, chacun mesure \(\dfrac{180^\circ}{3} = 60^\circ\).
Triangle rectangle (un angle droit) : les deux autres angles sont aigus et leur somme vaut \(180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\). On dit qu'ils sont complémentaires.

Exemple résolu 3 : le toit isocèle

La façade d'un toit a la forme d'un triangle \(RST\) isocèle en \(R\), avec \(\widehat{R} = 40^\circ\). Calcule \(\widehat{S}\) et \(\widehat{T}\).

Le triangle est isocèle en \(R\) : les angles à la base \(\widehat{S}\) et \(\widehat{T}\) sont égaux.

Ensemble, ils mesurent \(180^\circ - 40^\circ = 140^\circ\).

Chacun mesure donc \(140^\circ \div 2 = 70^\circ\) : \(\widehat{S} = \widehat{T} = 70^\circ\).

Exemple résolu 4 : le triangle rectangle

Le triangle \(EFG\) est rectangle en \(E\) et \(\widehat{F} = 35^\circ\). Calcule \(\widehat{G}\).

Voir la solution

Les angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires : \(\widehat{F} + \widehat{G} = 90^\circ\), donc \(\widehat{G} = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ\).

Un triangle est isocèle et un de ses angles à la base mesure \(50^\circ\). Combien mesure l'angle au sommet principal ?

\(80^\circ\)
\(65^\circ\)
\(50^\circ\)

Les deux angles à la base mesurent \(50^\circ\) chacun, soit \(100^\circ\) ; il reste \(180 - 100 = 80\) degrés pour l'angle au sommet.

Un triangle a deux angles de \(60^\circ\). Quelle est sa nature ?

Rectangle
Isocèle seulement, non équilatéral
Équilatéral

Le troisième angle mesure \(180 - 120 = 60\) degrés : les trois angles sont égaux, le triangle est équilatéral.

3. L'angle extérieur d'un triangle

Un angle extérieur d'un triangle est formé par un côté et le prolongement d'un autre côté. Il est supplémentaire de l'angle intérieur voisin (leur somme vaut \(180^\circ\)).

Pourquoi ? L'angle extérieur vaut \(180^\circ - \widehat{C}\), et d'après la somme des angles, \(180^\circ - \widehat{C} = \widehat{A} + \widehat{B}\).

Légende toi-même la figure : place chaque nom sur la bonne partie.

Exemple résolu 5

Dans le triangle \(ABC\), \(\widehat{A} = 50^\circ\) et \(\widehat{B} = 60^\circ\). On prolonge [BC] au-delà de C. Combien mesure l'angle extérieur en \(C\) ?

Voir la solution

Méthode rapide : angle extérieur en \(C\) \(= \widehat{A} + \widehat{B} = 50^\circ + 60^\circ = 110^\circ\).

Vérification : \(\widehat{C} = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\), et l'angle extérieur vaut \(180^\circ - 70^\circ = 110^\circ\). Les deux méthodes donnent le même résultat.

L'angle extérieur en \(C\) d'un triangle mesure \(130^\circ\) et \(\widehat{A} = 75^\circ\). Combien mesure \(\widehat{B}\) ?

\(50^\circ\)
\(55^\circ\)
\(105^\circ\)

L'angle extérieur en \(C\) vaut \(\widehat{A} + \widehat{B}\), donc \(\widehat{B} = 130 - 75 = 55\) degrés.

Erreurs fréquentes

Penser que la somme des angles dépend de la taille du triangle : elle vaut toujours \(180^\circ\).
Oublier de vérifier que les trois angles trouvés font bien \(180^\circ\).
Dans un triangle isocèle, déclarer égal l'angle au sommet avec un angle à la base.
Confondre l'angle extérieur avec l'angle intérieur voisin : ils sont supplémentaires, pas égaux.

Récapitulatif

Dans tout triangle : \(\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ\).
Triangle isocèle : angles à la base égaux. Triangle équilatéral : trois angles de \(60^\circ\).
Triangle rectangle : les deux angles aigus sont complémentaires (somme \(90^\circ\)).
Un angle extérieur est égal à la somme des deux angles intérieurs non adjacents.

Somme des angles d'un triangle

\(\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ\)

Triangle isocèle

Ses deux angles à la base ont la même mesure : \(\dfrac{180^\circ - s}{2}\) chacun, où \(s\) est l'angle au sommet.

Triangle équilatéral

Trois angles égaux de \(60^\circ\).

Triangle rectangle

Ses deux angles aigus sont complémentaires : leur somme vaut \(90^\circ\).

Angle extérieur

Il est égal à la somme des deux angles intérieurs non adjacents : en \(C\), il vaut \(\widehat{A} + \widehat{B}\).