Parallélogramme : propriétés des côtés

Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles et ont la même longueur, comme les deux rails d'une voie ferrée qui ne se rencontrent jamais.

Objectifs

Connaître la définition d'un parallélogramme.
Savoir que ses côtés opposés ont la même longueur, et utiliser cette propriété pour calculer.
Reconnaître un parallélogramme à partir des longueurs de ses côtés.
Construire un parallélogramme à la règle et au compas.

1. Définition : des côtés opposés parallèles

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.

Pour le parallélogramme \(ABCD\) (sommets nommés dans l'ordre, en tournant) :

\[(AB) \parallel (DC) \quad \text{et} \quad (AD) \parallel (BC)\]

Les côtés \([AB]\) et \([DC]\) sont opposés : ils ne se touchent pas. De même pour \([AD]\) et \([BC]\). Les côtés \([AB]\) et \([BC]\), qui ont un sommet commun, sont consécutifs.

Dans le parallélogramme \(EFGH\), quel côté est opposé à \([EF]\) ?

\([FG]\)
\([GH]\)
\([HE]\)

Les sommets se suivent dans l'ordre E, F, G, H : le côté qui ne touche ni E ni F est \([GH]\).

2. Propriété : les côtés opposés ont la même longueur

Conséquence : pour connaître les quatre côtés, il suffit de connaître deux côtés consécutifs. Le périmètre d'un parallélogramme de côtés consécutifs \(a\) et \(b\) est :

\[P = a + b + a + b = 2 \times (a + b)\]

Manipule : choisis la longueur \(a\) d'un côté avec le curseur, puis lis sur la droite le périmètre \(P\) selon la longueur \(x\) de l'autre côté.

Exemple résolu 1

\(EFGH\) est un parallélogramme avec \(EF = 7\ \text{cm}\) et \(FG = 4{,}5\ \text{cm}\). Trouve \(GH\), \(HE\) et le périmètre. Cherche d'abord.

Étape 1 : \([GH]\) est opposé à \([EF]\), donc \(GH = EF = 7\ \text{cm}\).

Étape 2 : \([HE]\) est opposé à \([FG]\), donc \(HE = FG = 4{,}5\ \text{cm}\).

Étape 3 : périmètre : \[P = 2 \times (7 + 4{,}5) = 2 \times 11{,}5 = 23\ \text{cm}\]

Exemple résolu 2 : le champ de Kouassi

À Bouaké, Kouassi veut clôturer un champ en forme de parallélogramme dont deux côtés consécutifs mesurent \(25\ \text{m}\) et \(15\ \text{m}\). Le grillage coûte \(1\,500\) F CFA le mètre. Combien va-t-il payer ?

Étape 1 : les côtés opposés ont la même longueur : le champ a deux côtés de \(25\ \text{m}\) et deux côtés de \(15\ \text{m}\).

Étape 2 : longueur de grillage : \[P = 2 \times (25 + 15) = 2 \times 40 = 80\ \text{m}\]

Étape 3 : prix : \[80 \times 1\,500 = 120\,000\ \text{F CFA}\]

Exemple résolu 3 : retrouver un côté

Un parallélogramme a un périmètre de \(30\ \text{cm}\) et un côté de \(9\ \text{cm}\). Quelle est la longueur du côté consécutif ?

Voir la solution

Deux côtés consécutifs font la moitié du périmètre :

\[a + b = 30 \div 2 = 15\ \text{cm}, \qquad b = 15 - 9 = 6\ \text{cm}.\]

Les côtés mesurent donc \(9\ \text{cm}\), \(6\ \text{cm}\), \(9\ \text{cm}\) et \(6\ \text{cm}\).

\(ABCD\) est un parallélogramme avec \(AB = 8\ \text{cm}\) et \(BC = 5\ \text{cm}\). Quel est son périmètre ?

\(13\ \text{cm}\)
\(40\ \text{cm}\)
\(26\ \text{cm}\)

\(P = 2 \times (8 + 5) = 2 \times 13 = 26\ \text{cm}\). La réponse 13 oublie les deux autres côtés ; 40 est le produit, pas une somme.

3. Reconnaître un parallélogramme grâce aux côtés

Exemple résolu 4

Le quadrilatère non croisé \(RSTU\) a pour côtés \(RS = 5\ \text{cm}\), \(ST = 3\ \text{cm}\), \(TU = 5\ \text{cm}\), \(UR = 3\ \text{cm}\). Que peut-on dire des droites \((RS)\) et \((TU)\) ?

Voir la solution

\(RS = TU = 5\ \text{cm}\) et \(ST = UR = 3\ \text{cm}\) : les côtés opposés ont la même longueur deux à deux, et \(RSTU\) est non croisé. Donc \(RSTU\) est un parallélogramme. Par définition, ses côtés opposés sont parallèles : \((RS) \parallel (TU)\).

Un quadrilatère non croisé \(KLMN\) a \(KL = 6\ \text{cm}\), \(LM = 4\ \text{cm}\), \(MN = 6\ \text{cm}\), \(NK = 4\ \text{cm}\). Que peut-on conclure ?

C'est un parallélogramme.
On ne peut rien dire sans mesurer les angles.
C'est forcément un rectangle.

Ses côtés opposés ont la même longueur deux à deux et il est non croisé : c'est un parallélogramme. Rien ne dit que ses angles sont droits.

4. Construire un parallélogramme à la règle et au compas

Construisons \(ABCD\) avec \(AB = 6\ \text{cm}\) et \(AD = 4\ \text{cm}\). Avance étape par étape.

On trace le segment \([AB]\) de 6 cm.

On trace le segment \([AD]\) de 4 cm, dans la direction voulue.

Comme \(BC = AD\), on trace un arc de centre B et de rayon 4 cm ; comme \(DC = AB\), un arc de centre D et de rayon 6 cm : ils se coupent en C.

On trace \([BC]\) et \([DC]\) : les côtés opposés ont la même longueur, donc \(ABCD\) est un parallélogramme.

Pour placer C, quel rayon faut-il prendre pour l'arc de centre D ?

\(AD = 4\ \text{cm}\)
\(AB = 6\ \text{cm}\)
\(AC\)

\([DC]\) est opposé à \([AB]\), donc \(DC = AB = 6\ \text{cm}\).

Erreurs fréquentes

Nommer les sommets dans le désordre : \(ABCD\) se lit en tournant ; \([AC]\) est une diagonale, pas un côté.
Calculer le périmètre avec seulement deux côtés : il faut \(2 \times (a + b)\).
Croire que deux côtés opposés parallèles suffisent (cas du trapèze).
Oublier la condition « non croisé » dans les réciproques.

Récapitulatif

Un parallélogramme a ses côtés opposés parallèles (définition) et de même longueur (propriété). Réciproquement, un quadrilatère non croisé dont les côtés opposés ont la même longueur deux à deux, ou qui a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, est un parallélogramme. Son périmètre vaut \(2 \times (a + b)\).

Définition du parallélogramme

Quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.

Côtés opposés

Dans \(ABCD\) : \(AB = DC\) et \(AD = BC\).

Périmètre

\(P = 2 \times (a + b)\) avec \(a\) et \(b\) deux côtés consécutifs.

Réciproque 1

Quadrilatère non croisé, côtés opposés de même longueur deux à deux : parallélogramme.

Réciproque 2

Quadrilatère non croisé, deux côtés opposés parallèles et de même longueur : parallélogramme.