Propriétés des opérations sur les réels et calcul astucieux

Les opérations sur les réels obéissent à des règles (commutativité, associativité, distributivité, opposé, inverse) : les connaître permet de transformer un calcul long en calcul simple, sans changer son résultat.

Objectifs

Énoncer et utiliser les propriétés de l'addition et de la multiplication dans \(\mathbb{R}\).
Déterminer l'opposé et l'inverse d'une somme, d'un produit ou d'un quotient.
Prévoir le signe d'un produit ou d'un quotient de plusieurs facteurs.
Organiser un calcul de façon astucieuse et le contrôler.

1. Les propriétés de l'addition et de la multiplication

Pour tous réels \(a\), \(b\) et \(c\) :

Propriété	Addition	Multiplication
Commutativité (l'ordre ne compte pas)	\(a + b = b + a\)	\(a \times b = b \times a\)
Associativité (les regroupements ne comptent pas)	\((a + b) + c = a + (b + c)\)	\((a \times b) \times c = a \times (b \times c)\)
Élément neutre	\(a + 0 = a\)	\(a \times 1 = a\)
Symétrique	\(a + (-a) = 0\)	\(a \times \frac{1}{a} = 1\) si \(a \neq 0\)

La distributivité relie les deux opérations : \(k(a + b) = ka + kb\). Enfin, \(0\) est absorbant pour la multiplication : \(a \times 0 = 0\).

flowchart LR
A[Soustraire b] --> B[Ajouter l oppose de b]
C[Diviser par b non nul] --> D[Multiplier par l inverse de b]
B --> E[On peut changer ordre et regroupements]
D --> E

Exemple résolu 1 : calculer astucieusement

Calcule sans calculatrice \(A = 0{,}25 \times 37 \times 4\), \(B = 47 + 128 + 53\) et \(C = 99 \times 23\). Cherche d'abord.

\(A\) : par commutativité et associativité, on regroupe \(0{,}25 \times 4 = 1\) : \(A = (0{,}25 \times 4) \times 37 = 1 \times 37 = 37\).

\(B\) : on regroupe \(47 + 53 = 100\) : \(B = (47 + 53) + 128 = 100 + 128 = 228\).

\(C\) : on écrit \(99 = 100 - 1\) et on distribue : \(C = 100 \times 23 - 1 \times 23 = 2\,300 - 23 = 2\,277\).

Combien vaut \(25 \times 17 \times 4\) ?

\(425\)
\(6\,800\)
\(1\,700\)

On regroupe \(25 \times 4 = 100\), puis \(100 \times 17 = 1\,700\). 425 oublie le facteur 4, et 6 800 le compte deux fois.

2. Opposé et inverse : sommes, produits, quotients

Pour tous réels \(a\) et \(b\) :

\[ -(a + b) = -a - b \qquad -(a - b) = b - a \qquad -(ab) = (-a)b = a(-b) \]

Pour tous réels \(a\) et \(b\) non nuls :

\[ \frac{1}{ab} = \frac{1}{a} \times \frac{1}{b} \qquad \text{l'inverse de } \frac{a}{b} \text{ est } \frac{b}{a} \qquad \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} \ (c \neq 0,\ d \neq 0) \]

Exemple résolu 2 : quotients emboîtés

Calcule \(E = \dfrac{\frac{3}{4}}{\frac{9}{8}}\) et \(F = \dfrac{1}{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}\). Cherche d'abord.

Voir la solution

Diviser par \(\frac{9}{8}\), c'est multiplier par son inverse \(\frac{8}{9}\) :

\begin{align} E &= \frac{3}{4} \times \frac{8}{9} = \frac{3 \times 8}{4 \times 9} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3} \end{align}

Pour \(F\), on calcule d'abord la somme du dénominateur, puis on l'inverse :

\begin{align} \frac{1}{2} + \frac{1}{3} &= \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} \\ F &= \frac{1}{\frac{5}{6}} = \frac{6}{5} \end{align}

Quel est l'opposé de \(-\frac{3}{4}\) ?

\(\frac{3}{4}\)
\(-\frac{4}{3}\)
\(\frac{4}{3}\)

L'opposé change seulement le signe : \(-\frac{3}{4} + \frac{3}{4} = 0\). Les deux autres réponses confondent avec l'inverse.

Quel est l'inverse de \(-\frac{2}{5}\) ?

\(\frac{2}{5}\)
\(-\frac{5}{2}\)
\(\frac{5}{2}\)

On retourne la fraction en gardant le signe : \(\left(-\frac{2}{5}\right) \times \left(-\frac{5}{2}\right) = 1\).

Pour tous réels \(a\) et \(b\) non nuls, laquelle de ces égalités est toujours vraie ?

\(\frac{1}{a + b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}\)
\(\frac{1}{ab} = \frac{1}{a} \times \frac{1}{b}\)
\(\frac{a + b}{a} = b\)

L'inverse d'un produit est le produit des inverses. La première égalité est fausse (avec \(a = b = 1\) : \(\frac{1}{2} \neq 2\)), la troisième aussi (avec \(a = b = 1\) : \(2 \neq 1\)).

3. Le signe d'un produit ou d'un quotient

Un produit de facteurs non nuls est :

positif s'il contient un nombre pair de facteurs négatifs ;
négatif s'il contient un nombre impair de facteurs négatifs.

La même règle vaut pour un quotient, car diviser revient à multiplier par l'inverse, qui a le même signe. Si l'un des facteurs est nul, le produit est nul.

Exemple résolu 3

Calcule \(G = (-2) \times 3 \times (-5) \times (-1)\) et \(H = \dfrac{(-6) \times (-4)}{-8}\).

Signe de \(G\) : trois facteurs négatifs (nombre impair), donc \(G\) est négatif.

Valeur de \(G\) : \(2 \times 3 \times 5 \times 1 = 30\), donc \(G = -30\).

Signe de \(H\) : trois nombres négatifs (\(-6\), \(-4\) et \(-8\)), donc \(H\) est négatif.

Valeur de \(H\) : \(\frac{6 \times 4}{8} = \frac{24}{8} = 3\), donc \(H = -3\).

Quel est le signe de \((-1) \times (-2) \times (-3) \times (-4)\) ?

Positif
Négatif
Nul

Il y a quatre facteurs négatifs, un nombre pair : le produit est positif ; il vaut \(24\).

4. Organiser un calcul complet

Exemple résolu 4

Calcule \(D = \frac{2}{3} - \frac{5}{6} \times \frac{4}{5}\) et donne le résultat sous forme simplifiée.

Voir la solution

La multiplication est prioritaire. On simplifie avant de multiplier : le \(5\) du numérateur et le \(5\) du dénominateur se compensent.

\begin{align} \frac{5}{6} \times \frac{4}{5} &= \frac{5 \times 4}{6 \times 5} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \\ D &= \frac{2}{3} - \frac{2}{3} = 0 \end{align}

Erreurs fréquentes

Échanger les termes d'une soustraction ou d'une division : \(a - b \neq b - a\) en général.
Confondre opposé et inverse : l'opposé de \(5\) est \(-5\), son inverse est \(\frac{1}{5}\).
Changer le signe en prenant l'inverse : l'inverse de \(-4\) est \(-\frac{1}{4}\), pas \(\frac{1}{4}\).
Inverser une somme terme à terme : \(\frac{1}{a + b} \neq \frac{1}{a} + \frac{1}{b}\).
Diviser par \(0\) : cette opération n'a pas de sens.

Récapitulatif

Addition et multiplication sont commutatives et associatives ; la soustraction et la division ne le sont pas.
\(a - b = a + (-b)\) et, si \(b \neq 0\), \(a \div b = a \times \frac{1}{b}\).
Opposé : signe contraire ; inverse : même signe, fraction retournée ; \(0\) n'a pas d'inverse.
Signe d'un produit : pair de facteurs négatifs, positif ; impair, négatif.

Commutativité

\(a + b = b + a\) et \(ab = ba\).

Associativité

On peut regrouper les termes ou les facteurs comme on veut.

Opposé d'une somme

\(-(a + b) = -a - b\).

Inverse d'un quotient

L'inverse de \(\frac{a}{b}\) est \(\frac{b}{a}\) (\(a\) et \(b\) non nuls).

Signe d'un produit

Nombre pair de facteurs négatifs : positif ; impair : négatif.