Segments : Propriétés des segments

Ce cours synthétique présente ce qu'est un segment et les propriétés qui permettent de le décrire et de l’utiliser en géométrie.

Objectifs

Comprendre ce qu’est un segment et le distinguer d’une droite ou d’un demi-plan.
Connaître la notation et la manière de mesurer la longueur d’un segment.
Savoir ajouter des longueurs lorsque deux sous-segments forment un segment.
Utiliser les propriétés d congruence et de milieu pour raisonner sur des segments.

Notions clés

Définition : le segment [AB] est l’ensemble des points situés sur la droite qui passe par A et B et qui appartiennent entre A et B, y compris A et B. En notation, on écrit aussi (CAB) pour parler du même objet. La longueur du segment se note |AB|.

Longueur et distance : pour des points A et B sur le plan, la longueur du segment AB se calcule par la distance : \[ |AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \], où A a pour coordonnées (x_A, y_A) et B pour (x_B, y_B).

Notations usuelles : on écrit généralement \overline{AB} ou [AB] pour désigner le segment; sa longueur s’écrit |AB|.

Propriétés importantes

Conjonction de segments : si C est entre A et B sur la même ligne, alors
|AB| = |AC| + |CB|.
Égalité de longueurs (congruence) : deux segments sont congrus lorsque leur longueur est la même, noté AB ≅ CD et |AB| = |CD|.
Symétrie : |AB| = |BA|.

Voir une démonstration rapide

Pour AB et CD, si |AB| = |CD| alors les segments ont la même longueur, ce qui les rend congrus. La décomposition d’un segment en sous-segments est illustrée par l’égalité |AB| = |AC| + |CB| lorsque C est sur AB et entre A et B.

Représentation graphique d'un segment AB

Mini-récapitulatif

Notations et propriétés essentielles : le segment se note \overline{AB} ou [AB], sa longueur est |AB|, et sa longueur peut se calculer par la distance entre A et B :

\[ |AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \]

Exemples résolus

Exemple 1 : Calcul de la longueur à partir de coordonnées

Énoncé : Soit A(1, 2) et B(4, 6). Calculer la longueur |AB|.

Étape 1 : écrire la formule de la distance entre A et B : \[ |AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \]

Étape 2 : remplacer les coordonnées : \[ |AB| = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} \]

Étape 3 : calculer : \[ |AB| = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

Voir la solution

La longueur du segment AB est 5 unités.

Si C est sur le segment AB et A-C-B dans cet ordre, quelle égalité est vraie ?

|AB| = |AC| + |CB|
|AC| = |AB|
|AB| = |AC| - |CB|

La bonne réponse est la première option : quand C est entre A et B, on a |AB| = |AC| + |CB|.

Erreurs fréquentes

Confondre la distance entre deux points avec une distance sur une ligne sans délimitation.
Oublier que |AB| = |BA|, car la distance est indépendante du sens.
Utiliser des coordonnées sans poser A et B sur le même repère.

Récapitulatif

Un segment [AB] est la partie de la droite entre A et B, y compris A et B.
Longueur : |AB|; notation du segment : \overline{AB} ou [AB].
Calcul de la longueur : \[ |AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \].
Si C est entre A et B : |AB| = |AC| + |CB|.

Cartes mémo

Segment

Portion de droite entre deux points A et B; on lit \overline{AB} ou [AB]

Longueur

Notée |AB| et calculée par la distance entre A et B

Distance

Pour A(x_A, y_A) et B(x_B, y_B) : \[ |AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \]