Puissance d'un nombre : base, exposant, lecture et calcul

Une puissance comme \(2^{3}\) est une façon courte d'écrire une multiplication d'un même nombre par lui-même : \(2^{3} = 2 \times 2 \times 2 = 8\).

Objectifs

Reconnaître la base et l'exposant d'une puissance.
Lire et écrire une puissance (« au carré », « au cube », « exposant »).
Calculer une puissance simple en l'écrivant sous forme de produit.
Ne pas confondre \(2^{3}\) (multiplication répétée) avec \(2 \times 3\) (addition répétée).

1. Qu'est-ce qu'une puissance ?

Définition

Quand on multiplie un nombre par lui-même plusieurs fois, on peut écrire ce produit sous la forme d'une puissance :

\[ a^{n} = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ facteurs égaux à } a} \]

\(a\) est la base : c'est le nombre que l'on multiplie.
\(n\) est l'exposant : il est écrit en petit, en haut à droite, et indique combien de fois la base apparaît dans le produit.
\(a^{n}\) se lit « \(a\) puissance \(n\) » ou « \(a\) exposant \(n\) ».

Exemple : dans \(5^{4} = 5 \times 5 \times 5 \times 5\), la base est 5, l'exposant est 4 ; il y a 4 facteurs égaux à 5.

Noms particuliers

\(a^{2} = a \times a\) se lit « \(a\) au carré ». Exemple : \(6^{2} = 6 \times 6 = 36\).
\(a^{3} = a \times a \times a\) se lit « \(a\) au cube ». Exemple : \(4^{3} = 4 \times 4 \times 4 = 64\).
\(a^{1} = a\) : un seul facteur. Exemple : \(9^{1} = 9\).

« 3 au carré » se voit : un carré de 3 rangées de 3 points contient \(3^{2} = 9\) points.

Exemple résolu 1 : reconnaître et écrire

Écrire chaque produit sous forme de puissance, puis donner la base et l'exposant : \(7 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7\) ; \(2 \times 2\) ; \(10 \times 10 \times 10\).

Cherche d'abord, puis vois la solution

\(7 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7\) : on compte 5 facteurs égaux à 7, donc \(7^{5}\) ; base 7, exposant 5.

\(2 \times 2 = 2^{2}\) (« 2 au carré ») ; base 2, exposant 2.

\(10 \times 10 \times 10 = 10^{3}\) (« 10 au cube ») ; base 10, exposant 3.

Dans \(7^{4}\), quelle est la base ?

La base est le nombre que l'on multiplie : \(7^{4} = 7 \times 7 \times 7 \times 7\). Le 4 est l'exposant.

Comment lit-on \(5^{3}\) ?

5 au cube
5 au carré
3 au cube

L'exposant 3 se lit « au cube » et la base est 5 : \(5^{3}\) se lit « 5 au cube » (ou « 5 exposant 3 »).

2. Calculer une puissance

Méthode

Pour calculer \(a^{n}\) : on écrit le produit des \(n\) facteurs, puis on multiplie de gauche à droite.

Exemple résolu 2

Calculer \(2^{5}\).

Cherche d'abord, puis vois la solution

On écrit le produit : \(2^{5} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2\) (5 facteurs).

On multiplie pas à pas : \(2 \times 2 = 4\), puis \(4 \times 2 = 8\), puis \(8 \times 2 = 16\), puis \(16 \times 2 = 32\).

Donc \(2^{5} = 32\).

Les puissances de 10

\(10^{2} = 100\), \(10^{3} = 1\,000\), \(10^{4} = 10\,000\), \(10^{6} = 1\,000\,000\). L'exposant donne le nombre de zéros après le 1.

Exemple résolu 3 : comparer

Quel est le plus grand : \(3^{2}\) ou \(2^{3}\) ?

Cherche d'abord, puis vois la solution

\(3^{2} = 3 \times 3 = 9\).

\(2^{3} = 2 \times 2 \times 2 = 8\).

\(9 \gt 8\), donc \(3^{2} \gt 2^{3}\) : échanger la base et l'exposant change le résultat.

Combien vaut \(2^{3}\) ?

\(2^{3} = 2 \times 2 \times 2 = 8\). La réponse 6 vient de l'erreur \(2 \times 3\).

Combien vaut \(10^{4}\) ?

10 000
40
1 000

\(10^{4} = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10\,000\) : un 1 suivi de 4 zéros.

3. Puissance ou multiplication : ne pas confondre

Écriture	Ce qu'on répète	Calcul	Résultat
\(2 \times 3\)	une addition : 3 termes égaux à 2	\(2 + 2 + 2\)	6
\(2^{3}\)	une multiplication : 3 facteurs égaux à 2	\(2 \times 2 \times 2\)	8
\(5 \times 2\)	une addition : 2 termes égaux à 5	\(5 + 5\)	10
\(5^{2}\)	une multiplication : 2 facteurs égaux à 5	\(5 \times 5\)	25

flowchart LR
A[Addition repetee] --> B[Multiplication]
B --> C[Multiplication repetee]
C --> D[Puissance]

Exemple résolu 4

Calculer \(4 \times 3\) et \(4^{3}\), puis les comparer.

Cherche d'abord, puis vois la solution

\(4 \times 3 = 4 + 4 + 4 = 12\).

\(4^{3} = 4 \times 4 \times 4 = 16 \times 4 = 64\).

\(64 \neq 12\) : les deux écritures ne donnent pas le même résultat.

Quel nombre est le plus grand ?

\(2^{3}\)
\(3^{2}\)
Ils sont égaux

\(3^{2} = 9\) et \(2^{3} = 8\), donc \(3^{2}\) est le plus grand.

Quelle écriture est égale à \(6 \times 6 \times 6 \times 6\) ?

\(6 \times 4\)
\(4^{6}\)
\(6^{4}\)

Il y a 4 facteurs égaux à 6 : la base est 6 et l'exposant est 4, donc \(6^{4}\). \(6 \times 4\) vaut seulement 24.

Erreurs fréquentes

Calculer \(2^{3}\) comme \(2 \times 3 = 6\) au lieu de \(2 \times 2 \times 2 = 8\).
Inverser la base et l'exposant : \(3^{2} = 9\) mais \(2^{3} = 8\), et \(5^{2} = 25\) mais \(2^{5} = 32\). Il faut bien lire quel nombre est en bas (la base) et lequel est en haut (l'exposant).
Compter mal les facteurs : \(5^{3}\) contient 3 facteurs, donc 2 signes \(\times\) seulement.
Oublier que \(a^{1} = a\) : \(8^{1} = 8\).

Récapitulatif

\(a^{n}\) est le produit de \(n\) facteurs égaux à \(a\).
\(a\) est la base, \(n\) l'exposant ; \(a^{2}\) se lit « au carré », \(a^{3}\) « au cube ».
Pour calculer, on écrit le produit puis on multiplie pas à pas.
\(10^{n}\) s'écrit avec un 1 suivi de \(n\) zéros.
\(2^{3} = 8\) (multiplication répétée) et \(2 \times 3 = 6\) (addition répétée) : à ne pas confondre.

Puissance

Produit d'un nombre par lui-même plusieurs fois : \(a^{n} = a \times a \times \cdots \times a\)

Base

Le nombre que l'on multiplie (le 7 dans \(7^{4}\))

Exposant

Le petit nombre en haut à droite : combien de facteurs (le 4 dans \(7^{4}\))

Au carré, au cube

\(a^{2} = a \times a\) et \(a^{3} = a \times a \times a\)

Puissance de 10

\(10^{n}\) : un 1 suivi de \(n\) zéros, par exemple \(10^{3} = 1\,000\)