La puissance électrique

La puissance électrique dit à quelle vitesse un appareil reçoit ou fournit de l'énergie : elle se calcule par \(P = U \times I\), se mesure en watts (W) et, multipliée par la durée de fonctionnement, donne l'énergie consommée.

Objectifs

Définir la puissance électrique et connaître son unité, le watt, et ses multiples.
Calculer la puissance reçue par un dipôle avec \(P = U_{AB} \cdot I\).
Calculer la puissance dissipée par effet Joule : \(P_J = R I^2 = \dfrac{U^2}{R}\).
Faire le bilan de puissance d'un générateur et d'un moteur, et calculer un rendement.
Mesurer une puissance (voltmètre et ampèremètre, ou wattmètre) et relier puissance et énergie.

1. Qu'est-ce que la puissance ?

Imagine deux porteurs d'eau qui doivent remplir le même fût de 200 litres. Awa met 10 minutes, Kofi en met 20. Ils ont transporté la même quantité d'eau, mais Awa a été deux fois plus « puissante ». En électricité, l'eau est remplacée par l'énergie : la puissance est l'énergie transférée par unité de temps.

\[P = \frac{W}{t}\]

avec \(W\) l'énergie en joules (J), \(t\) la durée en secondes (s) et \(P\) la puissance en watts (W). Ainsi \(1\ \text{W} = 1\ \text{J/s}\).

Multiples utiles : \(1\ \text{kW} = 10^3\ \text{W}\) (kilowatt) et \(1\ \text{MW} = 10^6\ \text{W}\) (mégawatt). Sous-multiple : \(1\ \text{mW} = 10^{-3}\ \text{W}\).

Un appareil reçoit une énergie de 3000 J en 60 s. Quelle est sa puissance ?

180 000 W
0,02 W
50 W

\(P = \dfrac{W}{t} = \dfrac{3000}{60} = 50\ \text{W}\). On divise l'énergie par la durée, on ne multiplie pas.

2. Puissance électrique reçue par un dipôle

Un dipôle \(AB\), soumis à une tension \(U_{AB}\) et traversé par un courant d'intensité \(I\) (en convention récepteur), reçoit la puissance électrique :

\[P = U_{AB} \cdot I\]

avec \(P\) en watts (W), \(U_{AB}\) en volts (V) et \(I\) en ampères (A).

En courant alternatif, pour un appareil chauffant (fer, bouilloire, plaque), cette relation reste valable avec les valeurs efficaces de la tension et de l'intensité.

Exemple résolu

Calcule l'intensité du courant qui traverse le fer de Fatou en fonctionnement normal. Cherche d'abord, puis dévoile les étapes.

Données : \(P = 1000\ \text{W}\) et \(U = 220\ \text{V}\) (valeurs nominales).

On isole \(I\) dans \(P = U \cdot I\) : \(I = \dfrac{P}{U}\).

\[I = \frac{1000}{220} \approx 4{,}55\ \text{A}\]

Conclusion : le câble et la prise doivent supporter environ \(4{,}5\ \text{A}\). Une prise multiple qui alimente en plus une bouilloire peut donc chauffer dangereusement.

Une lampe de vélo est alimentée sous \(6\ \text{V}\) et traversée par un courant de \(0{,}5\ \text{A}\). Quelle puissance reçoit-elle ?

12 W
3 W
0,08 W

\(P = U \cdot I = 6 \times 0{,}5 = 3\ \text{W}\).

3. Le cas du conducteur ohmique : l'effet Joule

Pour un conducteur ohmique de résistance \(R\), la loi d'Ohm donne \(U = R \cdot I\). En remplaçant dans \(P = U \cdot I\) :

\begin{align} P_J &= U \cdot I = (R \cdot I) \cdot I = R I^2 \\ P_J &= U \cdot \frac{U}{R} = \frac{U^2}{R} \end{align}

avec \(R\) en ohms (\(\Omega\)). La puissance Joule augmente avec le carré de l'intensité : si l'intensité double, la puissance est multipliée par 4.

Manipule le curseur \(R\) (en ohms) et observe la courbe de la puissance Joule en fonction de l'intensité \(I\) : une parabole, qui monte de plus en plus vite.

Exemple résolu

Une ampoule « 220 V – 60 W » est assimilée, en fonctionnement normal, à un conducteur ohmique. Calcule l'intensité qui la traverse et sa résistance.

Voir la solution

Intensité :

\[I = \frac{P}{U} = \frac{60}{220} \approx 0{,}27\ \text{A}\]

Résistance, avec \(P = \dfrac{U^2}{R}\) :

\[R = \frac{U^2}{P} = \frac{220^2}{60} = \frac{48\,400}{60} \approx 807\ \Omega\]

Vérification : \(R I^2 \approx 807 \times 0{,}273^2 \approx 60\ \text{W}\). Les deux formules donnent bien la même puissance.

Dans un conducteur ohmique, on double l'intensité du courant. Que devient la puissance dissipée par effet Joule ?

Elle est multipliée par 4.
Elle est multipliée par 2.
Elle ne change pas.

\(P_J = R I^2\) : si \(I\) devient \(2I\), alors \(R (2I)^2 = 4 R I^2\). La puissance est multipliée par 4.

4. Bilan de puissance : générateur et moteur

Dans un circuit, l'énergie circule du générateur vers les récepteurs, et une partie est toujours perdue en chaleur.

flowchart LR
  A[Générateur] -->|puissance utile| B[Circuit]
  A -->|pertes Joule internes| C[Chaleur]
  B --> D[Moteur]
  D -->|puissance mécanique| E[Mouvement]
  D -->|pertes Joule| C

Le générateur

Un générateur de force électromotrice \(E\) (en V) et de résistance interne \(r\) (en \(\Omega\)), qui débite un courant \(I\), a pour tension \(U = E - r I\). En multipliant par \(I\) :

\[U I = E I - r I^2 \quad \Longleftrightarrow \quad P_e = P_u + P_J\]

\(P_e = E I\) : puissance électrique totale produite ;
\(P_u = U I\) : puissance utile fournie au circuit ;
\(P_J = r I^2\) : puissance perdue par effet Joule dans le générateur.

Le moteur (récepteur actif)

Un moteur de force contre-électromotrice \(E'\) et de résistance interne \(r'\) a pour tension \(U = E' + r' I\). Il reçoit \(P_{\text{reçue}} = U I\), en transforme \(E' I\) en puissance mécanique utile et perd \(r' I^2\) en chaleur :

\[U I = E' I + r' I^2\]

Le rendement compare ce qui est utile à ce qui est reçu (ou produit) ; il n'a pas d'unité et est toujours inférieur à 1 :

\[\eta = \frac{P_u}{P_{\text{reçue}}}\]

Exemple résolu

Un petit moteur de ventilateur de \(r' = 2\ \Omega\) est alimenté sous \(U = 12\ \text{V}\) et traversé par \(I = 1{,}5\ \text{A}\). Calcule la puissance reçue, les pertes Joule, la puissance mécanique utile et le rendement.

Puissance reçue : \(P_{\text{reçue}} = U I = 12 \times 1{,}5 = 18\ \text{W}\).

Pertes Joule : \(P_J = r' I^2 = 2 \times 1{,}5^2 = 2 \times 2{,}25 = 4{,}5\ \text{W}\).

Puissance utile : \(P_u = P_{\text{reçue}} - P_J = 18 - 4{,}5 = 13{,}5\ \text{W}\).

Rendement : \(\eta = \dfrac{13{,}5}{18} = 0{,}75\), soit 75 %.

Une pile de f.é.m. \(E = 12\ \text{V}\) et de résistance interne \(r = 0{,}5\ \Omega\) débite \(I = 2\ \text{A}\). Quelle puissance utile fournit-elle au circuit ?

24 W
22 W
2 W

\(P_e = E I = 24\ \text{W}\) et \(P_J = r I^2 = 0{,}5 \times 4 = 2\ \text{W}\), donc \(P_u = 24 - 2 = 22\ \text{W}\). On le retrouve avec \(U = E - rI = 11\ \text{V}\) et \(P_u = U I = 22\ \text{W}\).

5. Mesurer une puissance électrique

Méthode 1 : voltmètre et ampèremètre. On branche l'ampèremètre en série avec le dipôle pour mesurer \(I\), et le voltmètre en dérivation (en parallèle) aux bornes du dipôle pour mesurer \(U\). On calcule ensuite \(P = U \cdot I\).

Méthode 2 : le wattmètre. Cet appareil mesure directement la puissance : il possède un circuit « courant » branché en série et un circuit « tension » branché en dérivation.

Place les noms des appareils sur le schéma du montage (méthode 1).

Nadia lit \(U = 6\ \text{V}\) au voltmètre et \(I = 0{,}4\ \text{A}\) à l'ampèremètre. Quelle puissance reçoit la résistance ?

15 W
6,4 W
2,4 W

\(P = U \cdot I = 6 \times 0{,}4 = 2{,}4\ \text{W}\).

6. De la puissance à l'énergie

De \(P = \dfrac{W}{t}\), on tire :

\[W = P \cdot t\]

avec \(P\) en W et \(t\) en s, \(W\) est en joules (J) ;
avec \(P\) en kW et \(t\) en h, \(W\) est en kilowattheures (kWh).

\[1\ \text{kWh} = 1000\ \text{W} \times 3600\ \text{s} = 3{,}6 \times 10^6\ \text{J}\]

Exemple résolu

Le ventilateur de Kouni, de puissance \(75\ \text{W}\), fonctionne 8 heures par jour pendant 30 jours. Calcule l'énergie consommée en kWh, puis son coût si le kWh est facturé 100 F CFA (prix choisi pour l'exercice).

Voir la solution

Durée totale : \(t = 8 \times 30 = 240\ \text{h}\). Puissance : \(P = 75\ \text{W} = 0{,}075\ \text{kW}\).

\[W = P \cdot t = 0{,}075 \times 240 = 18\ \text{kWh}\] \[\text{Coût} = 18 \times 100 = 1800\ \text{F CFA}\]

En joules : \(W = 18 \times 3{,}6 \times 10^6 = 6{,}48 \times 10^7\ \text{J}\).

Une bouilloire de \(2\ \text{kW}\) fonctionne pendant 15 minutes. Quelle énergie consomme-t-elle ?

0,5 kWh
30 kWh
7,5 kWh

15 minutes valent \(0{,}25\ \text{h}\), donc \(W = 2 \times 0{,}25 = 0{,}5\ \text{kWh}\). Il faut convertir les minutes en heures avant de multiplier.

Erreurs fréquentes

Oublier le carré dans \(P_J = R I^2\) ou dans \(P_J = \dfrac{U^2}{R}\).
Utiliser \(R I^2\) pour un moteur entier : cette formule ne donne que ses pertes Joule, pas sa puissance reçue \(U I\).
Calculer un rendement supérieur à 1 : c'est le signe d'une erreur, car la puissance utile est toujours plus petite que la puissance reçue.
Mélanger minutes et heures, ou milliampères et ampères.

Récapitulatif

Puissance : \(P = \dfrac{W}{t}\), en watts ; \(1\ \text{W} = 1\ \text{J/s}\).
Puissance reçue par un dipôle : \(P = U_{AB} \cdot I\).
Effet Joule (conducteur ohmique) : \(P_J = R I^2 = \dfrac{U^2}{R}\).
Générateur : \(E I = U I + r I^2\) ; moteur : \(U I = E' I + r' I^2\) ; rendement \(\eta = \dfrac{P_u}{P_{\text{reçue}}} < 1\).
Mesure : ampèremètre en série et voltmètre en dérivation, ou wattmètre.
Énergie : \(W = P \cdot t\) ; \(1\ \text{kWh} = 3{,}6 \times 10^6\ \text{J}\).

Puissance électrique

Énergie transférée par seconde : \(P = U \cdot I\), en watts (W).

Effet Joule

Transformation d'énergie électrique en chaleur : \(P_J = R I^2\).

Puissance nominale

Puissance reçue par l'appareil sous sa tension nominale, inscrite sur sa plaque (ex. 220 V – 1000 W).

Rendement

\(\eta = \dfrac{P_u}{P_{\text{reçue}}}\), sans unité, toujours inférieur à 1.

Mesure de P

Ampèremètre en série, voltmètre en dérivation, puis \(P = U \cdot I\) ; ou un wattmètre.

Kilowattheure

Unité d'énergie : \(1\ \text{kWh} = 3{,}6 \times 10^6\ \text{J}\) ; \(W = P \cdot t\).