Puissance — Notation et définitions

Le cours en une phrase: comprendre ce qu’est une puissance, savoir lire et écrire \(a^{n}\) et appliquer les règles de base pour simplifier les expressions.

Objectifs

Définir une puissance et distinguer la base et l’exposant.
Noter et lire les puissances avec la notation \(a^{n}\).
Appliquer les règles élémentaires: produit de puissances, puissance d’un produit et puissance d’une puissance.

Notions clés

Puissance : pour toute base non nulle \(a\) et entier \(n \ge 0\), la puissance \(a^{n}\) est le produit de \(n\) facteurs égaux à \(a\) : \[ a^{n} = a \times a \times \cdots \times a \quad (n x{ fois}) \].

Notations importantes : base \(a\), exposant \(n\). Cas particuliers: \(a^{1}=a\), \(a^{0}=1\) (lorsque \(a\neq 0\)).

Règles de base : \(a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}\), \((a^{m})^{n} = a^{mn}\), \((ab)^{n} = a^{n} b^{n}\).

Étape 1 : une puissance est une multiplication répétée de la même quantité.

Étape 2 : on identifie la base (a) et l’exposant (n).

Voir la solution

Définition: pour tout \(a\neq 0\) et tout entier \(n\ge 0\), \(a^{n}=\prod_{k=1}^{n} a\). En particulier, \(a^{0}=1\).

Quel résultat est correct ?

\(2^{0}=0\)
\(2^{0}=1\)
\(0^{0}=0\)

Réponse: 2 est correcte car \(a^{0}=1\) pour \(a\neq 0\).

Exemples résolus

Exemple 1 : Calculer \(2^{3}\).

Étape 1 : écrire comme multiplication: \(2^{3} = 2 \times 2 \times 2\).

Étape 2 : calcul: \(2^{3}=8\).

Exemple 2 : Simplifier \((5^{2})^{3}\).

Étape 1 : règle puissance d’une puissance: \((5^{2})^{3} = 5^{2\cdot 3} = 5^{6}\).

Étape 2 : calcul numérique: \(5^{6}=15625\).

Voir la solution détaillée

Utilisation : \((a^{m})^{n} = a^{mn}\) et \(a^{0}=1\) lorsque applicable.

Laquelle est vraie ?

\((2^{2})^{2} = 2^{4}\)
\((2^{2})^{2} = 2^{2} \times 2^{2}\)
\((2^{2})^{2} = 2^{8}\)

Réponse: 1 est vraie car \((a^{m})^{n} = a^{mn}\) donc \((2^{2})^{2} = 2^{4}\).

Erreurs fréquentes

Confondre exposant et multiplication: \(a^{m} \cdot b^{m}\) n’est pas \((ab)^{m}\; c’est bien \((ab)^{m} = a^{m}b^{m}\).
Penser que \(a^{0}=0\); en réalité \(a^{0}=1\) pour \(a\neq 0\).
Oublier que \((ab)^{n} = a^{n}b^{n}\) et non pas l’inverse.

Récapitulatif

Puissance: \(a^{n}\) est le produit de n facteurs égaux à a.
Base et exposant: base = a, exposant = n.
Règles principales: \(a^{m}a^{n} = a^{m+n}\), \((a^{m})^{n} = a^{mn}\), \((ab)^{n} = a^{n}b^{n}\).
Cas particuliers: \(a^{1}=a\), \(a^{0}=1\) (pour \(a\neq 0\)), \(a^{-n} = 1/a^{n}\) (pour \(a\neq 0\)).

Cartes mémos

Puissance

Produit répété: \(a^{n} = a \times a \times \cdots \times a\) (n fois)

Base et exposant

Base = nombre multiplié; Exposant = nombre de fois qu’on multiplie

Règles

\(a^{m}a^{n} = a^{m+n}\), \((a^{m})^{n} = a^{mn}\)

Schéma explicatif

Conclusion rapide

Les puissances permettent d’écrire des multiplications répétées de manière compacte et de simplifier des calculs.