Puissance – Notation et définitions (niveau 4e)

Comprendre la notion de puissance, sa notation et les règles simples pour effectuer des calculs et des simplifications.

Objectifs

Définir ce qu’est une puissance et identifier la base et l’exposant.
Écrire et lire des puissances en notation standard et comprendre les cas particuliers (0 et exposants négatifs).
Utiliser les propriétés de base des puissances pour simplifier des calculs simples.

Notations et définitions

Une puissance est l’expression d’un nombre répété multiplié par lui-même. On lit « a à la puissance n » et on écrit la notation suivante :

Définition de la puissance d’exposant entier positif: \[ a^{n} = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ fois}} \quad (n \in \mathbb{N}) \p>

Notes importantes :

Exposant nul : \[ a^{0} = 1 \quad \text{pour } a \neq 0 \]
Exposant négatif : \[ a^{-n} = \frac{1}{a^{n}} \quad (n \in \mathbb{N}, \ a \neq 0) \]
Propriété utile : \[ (ab)^{n} = a^{n} b^{n} \quad (n \in \mathbb{N}) \]

Exemples résolus

Étape 1: Calcul de \(3^{4}\): \(3^{4} = 3 \times 3 \times 3 \times 3").

Étape 2: Poursuivre les multiplications: \(3 \times 3 = 9\), puis \(9 \times 3 = 27\), puis \(27 \times 3 = 81\).

Étape 3: Résultat: \(3^{4} = 81\).

Voir la solution

Solution complète: \(3^{4} = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 9 \times 9 = 81\).

Étape 1: Utilisation de la règle: \((2^{3})^{2} = 2^{3\cdot 2} = 2^{6}\).

Étape 2: Calcul: \(2^{6} = 64\).

Question rapide: que vaut \(4^{3}\) ?

Bonne réponse: 1. \(4^{3} = 4 \times 4 \times 4 = 64\).

Question: quelle est la valeur de \(5^{-2}\) ?

0.04
25
1/25

Réponse: 3, car \(5^{-2} = 1/5^{2} = 1/25\).

Erreurs fréquentes

Confondre puissance et multiplication: \(3^{2} \neq 3 \times 2\); cela signifie bien multiplier le nombre par lui-même deux fois.
Oublier que \(0^{0}\) est indéterminé dans certains contextes, et que \(a^{0} = 1\) pour tout a non nul.
Ne pas différencier exposant positif et négatif: \(a^{-n} = 1/a^{n}\) et non \( -n \) comme opérateur plat.
Oublier les conditions sur a lors de puissances négatives: \(a \neq 0\).

Récapitulatif

Notations: \(a^{n}\) se lit « a à la puissance n »; \(a^{n} = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ fois}}").
Cas particuliers: \(a^{0} = 1 (a \neq 0)\) et \(a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}\).
Propriétés simples: \((ab)^{n} = a^{n} b^{n}\) et \( (a^{m})^{n} = a^{m n}\).

Époque ancienne Idée de puissance comme produit répété.
XIXe–XXe Développement des notations \(a^{n}\) et propriétés algébriques.

Puissance

Notée \(a^{n}\); répète la base a n fois.

Exposant

Indique combien de fois on multiplie la base.

Puissance négative

\(a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}\) pour \(a \neq 0\).