Puissances dans \(\mathbb{R}\) pas à pas : décomposer, simplifier et comparer

Pour venir à bout d'un calcul avec des puissances, on décompose chaque nombre en facteurs premiers, on regroupe les puissances de même base, puis on applique les règles une à une ; la même idée permet de comparer des puissances sans les calculer.

Objectifs

Rappeler les règles de calcul sur les puissances d'exposant entier relatif.
Décomposer un entier en produit de puissances de nombres premiers.
Simplifier pas à pas un produit ou un quotient de puissances, avec ou sans exposants négatifs.
Déterminer le signe d'une puissance d'un nombre négatif.
Comparer deux puissances en les ramenant au même exposant ou à la même base.
Factoriser une somme de puissances de même base.

1. La boîte à outils : les règles de calcul

Notions clés

Pour tous réels non nuls \(a\) et \(b\) et tous entiers relatifs \(m\) et \(n\) :

\begin{align} a^m \times a^n &= a^{m+n} & \frac{a^m}{a^n} &= a^{m-n} \\ (a^m)^n &= a^{m \times n} & (a \times b)^n &= a^n \times b^n \\ \left(\frac{a}{b}\right)^n &= \frac{a^n}{b^n} & a^0 = 1 \quad &\text{et} \quad a^{-n} = \frac{1}{a^n} \end{align}

Que vaut \((2^3)^4\) ?

\(2^7\)
\(2^{12}\)
\(2^{81}\)

Une puissance de puissance multiplie les exposants : \((2^3)^4 = 2^{3 \times 4} = 2^{12}\). On additionne les exposants seulement pour un produit \(2^3 \times 2^4 = 2^7\).

2. Étape clé : décomposer en facteurs premiers

Notions clés

Tout entier supérieur ou égal à \(2\) s'écrit comme produit de puissances de nombres premiers. On divise successivement par \(2\), puis \(3\), puis \(5\)… tant que c'est possible :

\begin{align} 12 &= 2^2 \times 3 & 18 &= 2 \times 3^2 \\ 8 &= 2^3 & 6 &= 2 \times 3 \\ 72 &= 2^3 \times 3^2 & 100 &= 2^2 \times 5^2 \end{align}

Ensuite, une puissance d'un produit se décompose à son tour : \(12^3 = (2^2 \times 3)^3 = 2^6 \times 3^3\).

flowchart LR
  A[Décomposer chaque nombre] --> B[Développer chaque puissance]
  B --> C[Regrouper par base]
  C --> D[Additionner ou soustraire les exposants]
  D --> E[Écrire le résultat simplifié]

Quelle est la décomposition de \(6^4\) ?

\(2^4 \times 3^4\)
\(2 \times 3^4\)
\(2^4 \times 3\)

\(6 = 2 \times 3\), donc \(6^4 = (2 \times 3)^4 = 2^4 \times 3^4\) : l'exposant s'applique à chaque facteur.

3. Simplifier pas à pas

Exemple résolu 1 : \(A = \dfrac{12^3 \times 18^2}{6^4 \times 8}\)

Cherche d'abord, puis déroule les étapes.

Étape 1 : on décompose chaque nombre : \(12 = 2^2 \times 3\), \(18 = 2 \times 3^2\), \(6 = 2 \times 3\), \(8 = 2^3\).

Étape 2 : on développe les puissances : \[ 12^3 = 2^6 \times 3^3, \quad 18^2 = 2^2 \times 3^4, \quad 6^4 = 2^4 \times 3^4. \]

Étape 3 : on regroupe par base au numérateur et au dénominateur : \[ A = \frac{2^{6+2} \times 3^{3+4}}{2^{4+3} \times 3^4} = \frac{2^8 \times 3^7}{2^7 \times 3^4}. \]

Étape 4 : on applique la règle du quotient : \(A = 2^{8-7} \times 3^{7-4} = 2 \times 3^3 = 54\).

Exemple résolu 2 : avec des exposants négatifs, \(B = \dfrac{2^{-3} \times 9^2}{3^5 \times 4^{-2}}\)

Étape 1 : \(9^2 = (3^2)^2 = 3^4\) et \(4^{-2} = (2^2)^{-2} = 2^{-4}\).

Étape 2 : \(B = \dfrac{2^{-3} \times 3^4}{3^5 \times 2^{-4}} = 2^{-3-(-4)} \times 3^{4-5}\).

Étape 3 : \(B = 2^{1} \times 3^{-1} = \dfrac{2}{3}\).

Exemple résolu 3 : le signe d'abord, \(C = \dfrac{(-2)^5 \times (-3)^2}{6^2}\)

Voir la solution

On traite d'abord le signe : \((-2)^5\) a un exposant impair, donc il est négatif : \((-2)^5 = -2^5\). \((-3)^2\) a un exposant pair : \((-3)^2 = 3^2\). Ensuite :

\[ C = -\frac{2^5 \times 3^2}{2^2 \times 3^2} = -2^{5-2} \times 3^{0} = -2^3 = -8. \]

Vérification : \(-32 \times 9 = -288\) et \(-288 \div 36 = -8\).

À toi de jouer : \(D = \dfrac{10^{3} \times 5^{-2}}{2^{4}}\)

Voir la solution

\(10^3 = 2^3 \times 5^3\), donc \(D = \dfrac{2^3 \times 5^3 \times 5^{-2}}{2^4} = 2^{3-4} \times 5^{3-2} = 2^{-1} \times 5 = \dfrac{5}{2} = 2{,}5\).

Quel est le signe de \((-5)^{7} \times (-1)^{4}\) ?

Positif
Nul
Négatif

\((-5)^7\) a un exposant impair : il est négatif. \((-1)^4 = 1\) est positif. Le produit d'un négatif par un positif est négatif.

4. Comparer des puissances sans les calculer

Notions clés

Même exposant \(n \geq 1\) et bases positives : si \(0 < a < b\), alors \(a^n < b^n\).
Même base \(a > 1\) : plus l'exposant est grand, plus la puissance est grande. Si \(m < n\), alors \(a^m < a^n\).
Base entre \(0\) et \(1\) : c'est l'inverse, la puissance diminue quand l'exposant augmente : \(0{,}5^3 = 0{,}125 < 0{,}5^2 = 0{,}25\).

Exemple résolu 4 : comparer \(2^{30}\) et \(3^{20}\)

Étape 1 : on cherche un exposant commun : \(30 = 3 \times 10\) et \(20 = 2 \times 10\).

Étape 2 : \(2^{30} = (2^3)^{10} = 8^{10}\) et \(3^{20} = (3^2)^{10} = 9^{10}\).

Étape 3 : même exposant \(10\), et \(8 < 9\), donc \(8^{10} < 9^{10}\) : \(2^{30} < 3^{20}\).

Exemple résolu 5 : comparer \(5^{12}\) et \(2^{28}\)

Voir la solution

\(12 = 3 \times 4\) et \(28 = 7 \times 4\) : on prend l'exposant commun \(4\).

\[ 5^{12} = (5^3)^4 = 125^4 \qquad 2^{28} = (2^7)^4 = 128^4 \]

Comme \(125 < 128\), on obtient \(5^{12} < 2^{28}\).

Le graphique montre la courbe de \(y = a^x\). Fais varier la base \(a\) : au-dessus de \(1\), la courbe monte (les puissances grandissent avec l'exposant) ; entre \(0\) et \(1\), elle descend.

Comment se comparent \(2^{30}\) et \(3^{20}\) ?

\(2^{30} > 3^{20}\)
\(2^{30} = 3^{20}\)
\(2^{30} < 3^{20}\)

\(2^{30} = 8^{10}\) et \(3^{20} = 9^{10}\) : même exposant et \(8 < 9\), donc \(2^{30} < 3^{20}\). Un plus grand exposant ne suffit pas à conclure quand les bases diffèrent.

5. Factoriser une somme de puissances

Notions clés

On n'additionne jamais les exposants dans une somme ; on factorise par la plus petite puissance commune :

\begin{align} 2^{n+2} + 2^n &= 2^n \times 2^2 + 2^n = 2^n(4 + 1) = 5 \times 2^n \\ 3^{10} - 3^{9} &= 3^9 \times 3 - 3^9 = 3^9(3 - 1) = 2 \times 3^9 \end{align}

Exemple résolu 6 : simplifier \(E = \dfrac{5^{8} + 5^{7}}{5^{7}}\)

Étape 1 : on factorise le numérateur par \(5^7\) : \(5^8 + 5^7 = 5^7(5 + 1) = 6 \times 5^7\).

Étape 2 : \(E = \dfrac{6 \times 5^7}{5^7} = 6\).

Que vaut \(2^{n+1} + 2^n\) ?

\(3 \times 2^n\)
\(2^{2n+1}\)
\(4^{n}\)

\(2^{n+1} + 2^n = 2^n \times 2 + 2^n = 2^n(2 + 1) = 3 \times 2^n\). On n'additionne pas les exposants d'une somme.

Erreurs fréquentes

Additionner les exposants d'une somme : \(2^3 + 2^4 \neq 2^7\). On factorise : \(2^3(1 + 2) = 3 \times 2^3 = 24\).
Multiplier les bases : \(2^3 \times 3^3 = 6^3\) est juste (même exposant), mais \(2^3 \times 2^4 \neq 4^7\) : avec la même base, on garde la base et on additionne les exposants (\(2^7\)).
Oublier les parenthèses : \(-2^4 = -16\) alors que \((-2)^4 = 16\).
Se tromper de signe en soustrayant un exposant négatif : \(\dfrac{a^2}{a^{-3}} = a^{2-(-3)} = a^5\), et non \(a^{-1}\).
Comparer seulement les exposants : \(2^{30}\) a un exposant plus grand que \(3^{20}\), et pourtant il est plus petit.
Croire qu'un exposant négatif donne un nombre négatif : \(5^{-2} = \dfrac{1}{25} > 0\).

Récapitulatif

Méthode : décomposer en facteurs premiers, développer les puissances, regrouper par base, appliquer les règles.
Produit de même base : on additionne les exposants ; quotient : on les soustrait ; puissance de puissance : on les multiplie.
\((-a)^n\) est positif si \(n\) est pair, négatif si \(n\) est impair.
Pour comparer \(a^m\) et \(b^n\), on cherche un exposant commun (ou une base commune).
Une somme de puissances de même base se factorise par la plus petite puissance.

Décomposer

Écrire chaque nombre avec des puissances de nombres premiers : \(72 = 2^3 \times 3^2\).

Règles de même base

\(a^m \times a^n = a^{m+n}\), \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\), \((a^m)^n = a^{mn}\).

Signe de \((-a)^n\)

Positif si \(n\) est pair, négatif si \(n\) est impair.

Comparer des puissances

Ramener au même exposant : \(2^{30} = 8^{10} < 9^{10} = 3^{20}\).

Somme de puissances

Factoriser par la plus petite : \(2^{n+2} + 2^n = 5 \times 2^n\).