Puissances dans \(\mathbb{R}\) : signes, exposants négatifs et simplifications

Une puissance est une multiplication répétée ; quelques règles permettent de simplifier rapidement des produits et des quotients et de comparer de très grands ou très petits nombres.

Objectifs

Connaître la définition de \(a^n\) pour un exposant entier positif, nul ou négatif.
Déterminer le signe d'une puissance d'un nombre négatif.
Appliquer les règles de calcul pour simplifier une expression numérique ou littérale.
Utiliser les puissances de 10 pour calculer et comparer des ordres de grandeur.

1. Définition et cas particuliers

Notions clés

Soit \(a\) un réel et \(n\) un entier naturel non nul :

\[a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ facteurs}}\]

\(a\) est la base, \(n\) est l'exposant. Par convention, pour \(a \neq 0\) :

\[a^1 = a, \qquad a^0 = 1, \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n}.\]

Ainsi \(a^{-n}\) est l'inverse de \(a^n\). Par exemple \(2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}\) et \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{2} = \dfrac{9}{4}\).

Le signe d'une puissance

Si \(a > 0\), alors \(a^n > 0\) pour tout entier \(n\).
Si \(a < 0\) : \(a^n\) est positif si \(n\) est pair et négatif si \(n\) est impair.

Observe la courbe de \(y = x^n\) : déplace le curseur \(n\). Pour \(n\) pair, la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses ; pour \(n\) impair, elle passe en dessous quand \(x < 0\).

Exemple résolu

Exemple 1. Calculer \((-2)^4\), \(-2^4\), \((-2)^5\) et \((-1)^{2026}\). Cherche d'abord.

\((-2)^4 = (-2)\times(-2)\times(-2)\times(-2) = 16\) : exposant pair, résultat positif.

\(-2^4 = -(2^4) = -16\) : la puissance porte seulement sur 2, le signe moins reste devant.

\((-2)^5 = -32\) : exposant impair, résultat négatif.

\((-1)^{2026} = 1\) car 2026 est pair.

Combien vaut \(5^{-2}\) ?

\(-25\)
\(-10\)
\(\dfrac{1}{25}\)
\(\dfrac{1}{10}\)

\(5^{-2} = \dfrac{1}{5^2} = \dfrac{1}{25}\) : l'exposant négatif donne l'inverse de \(5^2\).

2. Les règles de calcul

Notions clés

Pour tous réels non nuls \(a\) et \(b\) et tous entiers relatifs \(m\) et \(n\) :

\begin{align} a^m \times a^n &= a^{m+n} & \frac{a^m}{a^n} &= a^{m-n}\\ \left(a^m\right)^n &= a^{m\times n} & (a\times b)^n &= a^n \times b^n\\ \left(\frac{a}{b}\right)^n &= \frac{a^n}{b^n} & & \end{align}

Exemples résolus

Exemple 2. Simplifier \(A = \dfrac{2^3 \times 2^5}{2^4}\) et \(B = \left(3^2\right)^3 \times 3^{-4}\).

\(A = \dfrac{2^{3+5}}{2^4} = \dfrac{2^8}{2^4} = 2^{8-4} = 2^4 = 16\).

\(B = 3^{2\times 3} \times 3^{-4} = 3^6 \times 3^{-4} = 3^{6-4} = 3^2 = 9\).

Exemple 3. Simplifier \(C = \dfrac{6^3 \times 2^{-2}}{3^4}\) et donner le résultat sous forme de fraction irréductible.

On décompose \(6^3 = (2\times 3)^3 = 2^3 \times 3^3\).

\[C = \frac{2^3 \times 3^3 \times 2^{-2}}{3^4} = 2^{3-2} \times 3^{3-4} = 2^1 \times 3^{-1}.\]

\(C = 2 \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}\).

Vérification : \(6^3 = 216\), \(216 \times \dfrac14 = 54\) et \(\dfrac{54}{81} = \dfrac{2}{3}\).

Exemple 4 (expression littérale). Pour \(x \neq 0\) et \(y \neq 0\), simplifier \(D = \left(x^2 y^{-1}\right)^3 \times x\, y^4\).

Voir la solution

\begin{align} D &= x^{2\times 3}\, y^{-1\times 3} \times x\, y^4\\ &= x^{6}\, y^{-3} \times x^{1}\, y^{4}\\ &= x^{6+1}\, y^{-3+4} = x^7 y \end{align}

Quelle est la forme simplifiée de \(\dfrac{7^5 \times 7^{-2}}{7^{4}}\) ?

\(7^{1}\)
\(7^{-1}\)
\(7^{-11}\)
\(7^{3}\)

Au numérateur \(7^{5+(-2)} = 7^3\), puis \(7^{3-4} = 7^{-1} = \dfrac17\).

3. Puissances de 10 et ordres de grandeur

Notions clés

Pour tout entier naturel \(n\) : \(10^n = 1\underbrace{0\cdots0}_{n \text{ zéros}}\) et \(10^{-n} = 0{,}\underbrace{0\cdots0}_{n-1 \text{ zéros}}1\).

Tout réel positif non nul s'écrit en notation scientifique \(a \times 10^p\) avec \(1 \le a < 10\) et \(p\) entier relatif. L'ordre de grandeur est la puissance de 10 la plus proche du nombre.

On part de 10⁰ = 1.

Vers la droite, chaque pas multiplie par 10 : l'exposant augmente de 1.

Vers la gauche, chaque pas divise par 10 : l'exposant diminue de 1 et devient négatif.

Exemples résolus

Exemple 5. Calculer \(E = 3\,200\,000 \times 0{,}000\,5\) à l'aide des puissances de 10.

\(3\,200\,000 = 3{,}2 \times 10^6\) et \(0{,}000\,5 = 5 \times 10^{-4}\).

\(E = (3{,}2 \times 5) \times 10^{6 + (-4)} = 16 \times 10^2\).

En notation scientifique : \(E = 1{,}6 \times 10^1 \times 10^2 = 1{,}6 \times 10^3 = 1\,600\).

Exemple 6. Sans calculatrice, comparer \(2^{30}\) et \(10^9\).

Voir la solution

On sait que \(2^{10} = 1\,024 > 1\,000 = 10^3\). Comme les deux nombres sont positifs, en élevant au cube :

\[2^{30} = \left(2^{10}\right)^3 > \left(10^3\right)^3 = 10^9.\]

Donc \(2^{30} > 10^9\) : \(2^{30}\) dépasse le milliard.

Quelle est l'écriture scientifique de \(0{,}000\,52\) ?

\(5{,}2 \times 10^{-4}\)
\(52 \times 10^{-5}\)
\(5{,}2 \times 10^{4}\)
\(0{,}52 \times 10^{-3}\)

En notation scientifique, le nombre devant la puissance doit être entre 1 (inclus) et 10 (exclu) : \(5{,}2\), et on a déplacé la virgule de 4 rangs vers la droite, d'où \(10^{-4}\). Les écritures B et D sont égales au nombre mais ne sont pas scientifiques.

Erreurs fréquentes

Confondre \(-a^n\) et \((-a)^n\).
Croire qu'un exposant négatif rend le nombre négatif : \(10^{-2} = 0{,}01 > 0\).
Multiplier les exposants au lieu de les additionner : \(a^2 \times a^3 = a^5\), pas \(a^6\).
Additionner des puissances comme on les multiplie : \(a^m + a^n\) ne se simplifie pas en général.
Oublier que \(a^0 = 1\) (et non 0) pour \(a \neq 0\).
Laisser en « notation scientifique » un nombre comme \(16 \times 10^2\) : le facteur doit être entre 1 et 10.

Récapitulatif

\(a^{-n}\)

\(\dfrac{1}{a^n}\) pour \(a \neq 0\)

\(a^m \times a^n\)

\(a^{m+n}\)

\(\dfrac{a^m}{a^n}\)

\(a^{m-n}\)

\(\left(a^m\right)^n\)

\(a^{mn}\)

Signe de \((-a)^n\) avec \(a > 0\)

Positif si \(n\) pair, négatif si \(n\) impair

Notation scientifique

\(a \times 10^p\) avec \(1 \le a < 10\) et \(p\) entier relatif