Puissances de 10 : écrire, convertir et ranger les grands nombres
Puissances de 10 : écrire, convertir et ranger les grands nombres
\(10^n\) s'écrit 1 suivi de \(n\) zéros : avec cette règle, je passe d'une puissance de 10 à l'écriture décimale, je multiplie un nombre par une puissance de 10 en décalant ses chiffres, et je compare des grands nombres sans me tromper de zéros.
Objectifs
- Écrire une puissance de 10 sous forme de produit et en écriture décimale.
- Passer d'une écriture décimale à une puissance de 10, et inversement.
- Calculer des produits comme \(3 \times 10^4\) ou \(2{,}5 \times 10^3\).
- Comparer et ranger des nombres écrits avec des puissances de 10.
1. Écrire une puissance de 10
Une puissance de 10 est un produit de facteurs tous égaux à 10. Pour un entier \(n\) supérieur ou égal à 1 :
\[10^n = \underbrace{10 \times 10 \times \cdots \times 10}_{n \text{ facteurs}} = 1\underbrace{0\ldots0}_{n \text{ zéros}}\]| Puissance | Produit | Écriture décimale | Nom |
|---|---|---|---|
| \(10^1\) | \(10\) | 10 | dix |
| \(10^2\) | \(10 \times 10\) | 100 | cent |
| \(10^3\) | \(10 \times 10 \times 10\) | 1 000 | mille |
| \(10^4\) | \(10 \times 10 \times 10 \times 10\) | 10 000 | dix mille |
| \(10^5\) | cinq facteurs 10 | 100 000 | cent mille |
| \(10^6\) | six facteurs 10 | 1 000 000 | un million |
| \(10^9\) | neuf facteurs 10 | 1 000 000 000 | un milliard |
D'une graduation à la suivante, on multiplie par 10 : on ajoute un zéro, l'exposant augmente de 1.
Après six crans, on atteint \(10^6\), un million : 1 suivi de 6 zéros.
Quelle est l'écriture décimale de \(10^4\) ?
2. Multiplier un nombre par une puissance de 10
Multiplier un nombre par \(10^n\), c'est le multiplier \(n\) fois par 10 : chaque chiffre avance de \(n\) rangs vers la gauche dans le tableau de numération.
- Pour un nombre entier, on écrit \(n\) zéros à sa droite : \(250 \times 10^2 = 25\,000\) ; \(3 \times 10^4 = 30\,000\).
- Pour un nombre décimal, la virgule se déplace de \(n\) rangs vers la droite, en complétant par des zéros si besoin : \(2{,}5 \times 10^3 = 2\,500\) ; \(4{,}75 \times 10^2 = 475\).
Que vaut \(3{,}2 \times 10^3\) ?
3. Comparer et ranger des nombres
Entre deux puissances de 10
La plus grande est celle qui a le plus grand exposant : \(10^5 > 10^3\), car 100 000 a plus de chiffres que 1 000.
Entre des produits \(a \times 10^n\)
La méthode sûre : écrire chaque nombre en écriture décimale, puis comparer le nombre de chiffres, et à nombre de chiffres égal, comparer chiffre par chiffre en partant de la gauche.
Quel est le plus grand nombre ?
Exemples résolus
Exemple 1 : convertir dans les deux sens
Écris 1 000 000 avec une puissance de 10, puis donne l'écriture décimale de \(7 \times 10^5\). Cherche d'abord.
Voir la solution
1 000 000 compte 6 zéros après le 1, donc \(1\,000\,000 = 10^6\).
\[7 \times 10^5 = 7 \times 100\,000 = 700\,000\]Exemple 2 : ranger quatre nombres
Range dans l'ordre croissant : \(4 \times 10^3\) ; \(10^4\) ; \(9 \times 10^2\) ; \(3{,}5 \times 10^3\).
Exemple 3 : le prix d'une commande
Une coopérative de Kaolack vend des sacs d'arachide à 15 000 F CFA. Elle en livre \(10^3\). Combien reçoit-elle ?
Voir la solution
\[15\,000 \times 10^3 = 15\,000\,000\]On ajoute 3 zéros à 15 000 : la coopérative reçoit 15 000 000 F CFA, soit quinze millions de francs.
Erreurs fréquentes
Récapitulatif
- \(10^n\) est le produit de \(n\) facteurs 10 : il s'écrit 1 suivi de \(n\) zéros.
- Multiplier par \(10^n\) déplace la virgule (ou ajoute des zéros) de \(n\) rangs.
- Entre deux puissances de 10, la plus grande a le plus grand exposant.
- Pour comparer des \(a \times 10^n\), on passe à l'écriture décimale, puis on compare le nombre de chiffres et les chiffres de gauche.
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