Puissances de 10 et comparaison

\(10^n\) s'écrit avec un 1 suivi de \(n\) zéros : grâce à cette règle, on passe vite d'une puissance de 10 à l'écriture décimale, et on compare facilement de grands nombres.

Objectifs

Écrire une puissance de 10 en écriture décimale, et inversement.
Calculer des produits comme \(3 \times 10^4\) ou \(2{,}5 \times 10^3\).
Décomposer un nombre avec des puissances de 10.
Comparer et ranger des nombres écrits avec des puissances de 10.

1. Les puissances de 10

Une puissance de 10 est un produit de facteurs tous égaux à 10 :

\[ 10^n = \underbrace{10 \times 10 \times \dots \times 10}_{n \text{ facteurs}} = 1\underbrace{0\dots0}_{n \text{ zéros}} \]

Puissance	Produit	Écriture décimale	Nom
\(10^1\)	\(10\)	10	dix
\(10^2\)	\(10 \times 10\)	100	cent
\(10^3\)	\(10 \times 10 \times 10\)	1 000	mille
\(10^4\)	quatre facteurs 10	10 000	dix mille
\(10^6\)	six facteurs 10	1 000 000	un million
\(10^9\)	neuf facteurs 10	1 000 000 000	un milliard

flowchart LR
A[10] -->|fois 10| B[100]
B -->|fois 10| C[1 000]
C -->|fois 10| D[10 000]
D -->|fois 10| E[100 000]

Chaque fois que l'exposant augmente de 1, le nombre est multiplié par 10 : il gagne un zéro.

Combien vaut \(10^4\) ?

\(40\)
\(10\,000\)
\(1\,000\)

L'exposant 4 indique quatre facteurs 10, donc un 1 suivi de quatre zéros : \(10\,000\).

Comment écrire un million avec une puissance de 10 ?

\(10^5\)
\(10^7\)
\(10^6\)

Un million s'écrit 1 000 000 : un 1 suivi de six zéros, donc \(10^6\).

2. Passer à l'écriture décimale

Pour multiplier un nombre entier par \(10^n\), on écrit \(n\) zéros à sa droite :

\[ 3 \times 10^4 = 30\,000 \qquad 25 \times 10^2 = 2\,500 \]

Pour un nombre décimal, on décale la virgule de \(n\) rangs vers la droite, en ajoutant des zéros si nécessaire :

\[ 2{,}5 \times 10^3 = 2\,500 \qquad 4{,}07 \times 10^2 = 407 \]

Exemple résolu 1

Écris en écriture décimale : \(A = 7 \times 10^3\), \(B = 1{,}8 \times 10^4\) et \(C = 0{,}6 \times 10^2\). Cherche d'abord.

\(A\) : on écrit trois zéros à droite de 7 : \(A = 7\,000\).

\(B\) : on décale la virgule de 4 rangs vers la droite : \(1{,}8 \to 18 \to 180 \to 1\,800 \to 18\,000\). Donc \(B = 18\,000\).

\(C\) : on décale la virgule de 2 rangs : \(0{,}6 \to 6 \to 60\). Donc \(C = 60\).

Exemple résolu 2 : décomposer un nombre

Décompose \(4\,056\) avec des puissances de 10.

Voir la solution

4 est le chiffre des milliers, 0 celui des centaines, 5 celui des dizaines et 6 celui des unités :

\[ 4\,056 = 4 \times 10^3 + 0 \times 10^2 + 5 \times 10^1 + 6 = 4 \times 10^3 + 5 \times 10 + 6 \]

Vérification : \(4\,000 + 50 + 6 = 4\,056\).

Combien vaut \(7 \times 10^3\) ?

\(7\,000\)
\(70\,000\)
\(700\)

\(10^3 = 1\,000\), donc \(7 \times 10^3 = 7\,000\) : on écrit trois zéros à droite de 7.

3. Comparer et ranger

Pour comparer des nombres écrits avec des puissances de 10 :

entre deux puissances de 10, la plus grande est celle qui a le plus grand exposant : \(10^5 > 10^3\) ;
avec la même puissance de 10, on compare les nombres placés devant : \(3 \times 10^5 < 7 \times 10^5\) ;
dans les autres cas, le plus sûr est de revenir à l'écriture décimale : \(2 \times 10^4 = 20\,000\) et \(9 \times 10^3 = 9\,000\), donc \(2 \times 10^4 > 9 \times 10^3\).

Exemple résolu 3 : ranger des nombres

Range dans l'ordre croissant : \(4 \times 10^3\) ; \(10^4\) ; \(5 \times 10^2\) ; \(3{,}2 \times 10^3\).

Étape 1 : on passe à l'écriture décimale : \(4\,000\) ; \(10\,000\) ; \(500\) ; \(3\,200\).

Étape 2 : on range ces nombres : \(500 < 3\,200 < 4\,000 < 10\,000\).

Étape 3 : on revient aux écritures de départ : \(5 \times 10^2 < 3{,}2 \times 10^3 < 4 \times 10^3 < 10^4\).

Exemple résolu 4 : combien de fois plus ?

Combien de fois \(10^5\) est-il plus grand que \(10^2\) ?

Voir la solution

\(10^5 = 100\,000\) et \(10^2 = 100\). Or \(100 \times 1\,000 = 100\,000\). Donc \(10^5\) est \(1\,000\) fois plus grand que \(10^2\), c'est-à-dire \(10^3\) fois : l'écart des exposants (\(5 - 2 = 3\)) donne le nombre de zéros.

Quel est le plus grand de ces trois nombres ?

\(9 \times 10^3\)
\(2 \times 10^4\)
\(5 \times 10^3\)

En écriture décimale : \(9\,000\), \(20\,000\) et \(5\,000\). Le plus grand est \(2 \times 10^4 = 20\,000\).

Erreurs fréquentes

Confondre \(10^n\) et \(10 \times n\) : \(10^3 = 1\,000\), et non 30.
Écrire un zéro de trop ou de moins : \(10^6\) a six zéros, pas sept.
Ajouter des zéros derrière un nombre décimal : \(2{,}5 \times 10^3\) vaut \(2\,500\), et non \(2{,}5000\). Avec une virgule, on la décale.
Comparer seulement les chiffres de devant sans regarder les exposants.

Récapitulatif

\(10^n\) s'écrit 1 suivi de \(n\) zéros ; \(10^3 = 1\,000\), \(10^6\) = un million.
Multiplier par \(10^n\) : \(n\) zéros à droite d'un entier, ou la virgule décalée de \(n\) rangs vers la droite.
Comparer : plus grand exposant d'abord ; même exposant, on compare les nombres devant ; sinon, écriture décimale.

\(10^n\)

Un 1 suivi de \(n\) zéros.

Un million, un milliard

\(10^6\) et \(10^9\).

Multiplier un décimal par \(10^n\)

Décaler la virgule de \(n\) rangs vers la droite.

Comparer deux puissances de 10

La plus grande a le plus grand exposant.

Décomposition

\(4\,056 = 4 \times 10^3 + 5 \times 10 + 6\).