Puissances de 10 et écriture scientifique

Maîtriser les puissances de 10 et écrire les nombres en notation scientifique permet de comparer, additionner et calculer rapidement de très grands ou très petits nombres.

Objectifs

Définir ce qu’est une puissance de 10 et une écriture scientifique.
Savoir convertir un nombre décimal en notation scientifique et inversement.
Appliquer les règles de calcul avec des puissances de 10 (multiplication et division).

Notions clés

Puissance de 10: \(10^{n}\) signifie que 10 est multiplié par lui-même n fois. On peut écrire \(10^{n}\).
Écriture scientifique: on écrit un nombre sous la forme \(a \times 10^{n}\) avec \(1 \le a < 10\) et n entier. Exemple : \(1.23 \times 10^{4}\).
Règles:
- \(10^{a} \times 10^{b} = 10^{a+b}\)\
- \( \dfrac{10^{a}}{10^{b}} = 10^{a-b} \)\
- \( (a \times 10^{n}) \times (b \times 10^{m}) = (ab) \times 10^{n+m} \)\
Conversion pratique: \[ 12300 = 1.23 \times 10^{4} \]
Exemple d’inverse: \[ 6.4 \times 10^{-3} = 0.0064 \]

Étape 1: repérer le nombre et déplacer la virgule pour obtenir une mantisse entre 1 et 10.

Étape 2: écrire la mantisse et l’exposant. Par exemple, \(12300 = 1.23 \times 10^{4}\).

Quel est le format correct pour écrire \(2500000\) en notation scientifique ?

2.5 × 10^6
25 × 10^5
2.5 × 10^5

Réponse: 1 est correcte, car \(2.5 \times 10^{6}\) équivaut à 2 500 000.

Exemples résolus

Conversion d’un entier en notation scientifique :

Étape 1: écrire le nombre sous forme mantisse × 10^n en déplaçant la virgule.

Étape 2: pour 12300, on obtient \(1.23 \times 10^{4}\).

Produit de puissances :

Étape 1: \(2.5 \times 10^{3}\) et \(4 \times 10^{2}\) se multiplient pour donner \( (2.5 \cdot 4) \times 10^{3+2} = 10 \times 10^{5} \).

Étape 2: \(10 \times 10^{5} = 1 \times 10^{6}\).

Voir la solution

La solution est \( (2.5 \times 10^{3}) \times (4 \times 10^{2}) = (2.5 \cdot 4) \times 10^{5} = 10 \times 10^{5} = 1 \times 10^{6} \).

Erreurs fréquentes

Oublier d’ajuster l’exposant lors d’un produit par une autre puissance de 10.
Écrire une mantisse en dehors de l’intervalle \(1 \le a < 10\).
Écrire des zéros inutiles en mantisse (par exemple 1.000 × 10^3).

Récapitulatif

Notation scientifique: \(a \times 10^{n}\) avec \(1 \le a < 10\).
Règles: \(10^{a} \times 10^{b} = 10^{a+b}\); \( (a \times 10^{n}) (b \times 10^{m}) = ab \times 10^{n+m}\).
Conversion: passer de décimal à notation scientifique et inverse.

Schéma explicatif: Mantisse et Exposant

Mini-quiz de vérification

Par quelle écriture scientifique convient le nombre 0,0032 ?

3.2 × 10^-2
3.2 × 10^-3
32 × 10^-4

Réponse: 2 est correcte, car 0,0032 = 3,2 × 10^-3.

Cartes mémo

Mantisse

Partie décimale qui est multipliée par une puissance de 10; pour \(a \times 10^{n}\) on a \(1 \le a < 10\)

Exponent

Nombre entier n dans \(a \times 10^{n}\)

Conversion

Pour convertir, déplacer la virgule et ajuster l’exposant