Puissances de 10 pas à pas : des zéros aux millions, aux kilos et aux comparaisons

L'exposant d'une puissance de 10 donne le nombre de zéros : \(10^6\) s'écrit 1 suivi de 6 zéros, c'est un million, et plus l'exposant est grand, plus le nombre est grand.

Objectifs

Passer de \(10^n\) à l'écriture décimale, et inversement, en comptant les zéros.
Relier les puissances de 10 aux mots mille, million, milliard.
Relier les puissances de 10 aux unités : kilo, méga, et aux conversions.
Comparer et ranger des nombres écrits avec des puissances de 10, étape par étape.

Notions clés

Pas 1 : l'exposant compte les zéros

Une puissance de 10 est un produit de facteurs tous égaux à 10 :

\[ 10^n = \underbrace{10 \times 10 \times \cdots \times 10}_{n \text{ facteurs}} = 1\underbrace{00\ldots0}_{n \text{ zéros}} \]

Chaque facteur 10 ajoute un zéro. Donc l'exposant est égal au nombre de zéros après le 1.

\(10^1 = 10\) (1 zéro)
\(10^2 = 100\) (2 zéros)
\(10^3 = 1\,000\) (3 zéros)
\(10^5 = 100\,000\) (5 zéros)

Dans l'autre sens : pour écrire 10 000 000 avec une puissance de 10, on compte les zéros (7), donc \(10\,000\,000 = 10^7\).

Comment s'écrit \(10^6\) en écriture décimale ?

60
100 000
1 000 000

L'exposant 6 donne 6 zéros après le 1 : 1 000 000. La réponse 60 vient de l'erreur \(10 \times 6\), et 100 000 n'a que 5 zéros.

Pas 2 : les mots des grands nombres

On regroupe les chiffres par trois, depuis la droite. Chaque nouveau groupe de trois zéros multiplie par \(1\,000 = 10^3\).

On retient : \(\text{mille} = 10^3\), \(\text{un million} = 10^6\), \(\text{un milliard} = 10^9\). Un million, c'est mille fois mille : \(10^3 \times 10^3 = 10^6\) (on ajoute les zéros : 3 + 3 = 6).

Pas 3 : les puissances de 10 dans les unités

kilo (k) : \(10^3\). Par exemple 1 kg = \(10^3\) g = 1 000 g.
méga (M) : \(10^6\). Par exemple 1 mégawatt (MW) = \(10^6\) W = 1 000 000 W.
Une heure contient \(60 \times 60 = 3\,600\) secondes : ce n'est pas une puissance de 10, car on compte le temps en soixantaines.

Un sac de riz pèse 25 kg. Combien de grammes cela fait-il ?

2 500 g
25 000 g
250 000 g

1 kg = \(10^3\) g, donc on multiplie 25 par 1 000 : on ajoute 3 zéros, 25 000 g.

Pas 4 : comparer des puissances de 10

Entre deux puissances de 10, la plus grande est celle qui a le plus grand exposant, car elle a plus de zéros.

\[ 10^4 < 10^7 \quad \text{car} \quad 4 < 7 \]

Pour comparer un nombre écrit avec des chiffres et une puissance de 10, on écrit les deux de la même façon, puis on compte les chiffres.

flowchart LR
A[Deux nombres] --> B[Les ecrire en chiffres]
B --> C[Compter les chiffres]
C --> D[Plus de chiffres donc plus grand]
C --> E[Autant de chiffres comparer de gauche a droite]

Quel est le plus grand nombre ?

\(10^5\)
99 999
\(10^4\)

\(10^5 = 100\,000\) a 6 chiffres ; 99 999 n'en a que 5 et \(10^4 = 10\,000\) aussi. Donc \(10^5\) est le plus grand, même s'il ne dépasse 99 999 que de 1.

Exemples résolus

Exemple 1 : lire un budget

Une coopérative de Korhogo dispose de \(10^6\) F CFA pour acheter des semences. Écris ce montant en chiffres et en lettres.

L'exposant est 6 : on écrit 1 suivi de 6 zéros.

En chiffres, par groupes de trois : 1 000 000 F CFA.

Le groupe des millions contient 1 : c'est un million de francs CFA.

Exemple 2 : convertir une distance

Une course cycliste fait 120 km. Combien de mètres les coureurs parcourent-ils ?

Voir la solution

\[ 120 \text{ km} = 120 \times 10^3 \text{ m} = 120 \times 1\,000 \text{ m} = 120\,000 \text{ m} \]

On a ajouté 3 zéros à 120. Les coureurs parcourent 120 000 m.

Exemple 3 : ranger quatre nombres dans l'ordre croissant

Range dans l'ordre croissant : \(10^3\) ; 9 000 ; \(10^2\) ; 10 100.

On écrit tout en chiffres : \(10^3 = 1\,000\) ; 9 000 ; \(10^2 = 100\) ; 10 100.

On compte les chiffres : 100 en a 3 ; 1 000 et 9 000 en ont 4 ; 10 100 en a 5.

À nombre de chiffres égal, on compare de gauche à droite : 1 000 est plus petit que 9 000.

Ordre croissant : \(10^2 < 10^3 < 9\,000 < 10\,100\).

Exemple 4 : combien de fois plus ?

Awa compare 1 000 000 F CFA et 1 000 F CFA. Combien de fois le premier montant est-il plus grand ?

Voir la solution

\(1\,000\,000 = 10^6\) et \(1\,000 = 10^3\). Il faut multiplier \(10^3\) par \(10^3\) pour obtenir \(10^6\), car 3 + 3 = 6.

\[ 10^3 \times 10^3 = 10^6 \]

Le premier montant est 1 000 fois plus grand que le second.

Lequel de ces classements est dans l'ordre croissant ?

\(10^4 < 1\,000 < 10^5\)
\(10^5 < 10^4 < 1\,000\)
\(1\,000 < 10^4 < 10^5\)

\(1\,000 = 10^3\), puis \(10^4 = 10\,000\), puis \(10^5 = 100\,000\) : les exposants 3, 4, 5 sont rangés du plus petit au plus grand.

Erreurs fréquentes

Multiplier 10 par l'exposant : \(10^3 = 1\,000\), pas 30.
Confondre million et milliard : un million a 6 zéros, un milliard en a 9.
Comparer seulement les premiers chiffres : 9 000 est plus petit que 10 100, même si 9 est plus grand que 1. On compte d'abord les chiffres.
Oublier des zéros en convertissant : 5 km = 5 000 m (3 zéros pour kilo).

Récapitulatif

\(10^n\) s'écrit 1 suivi de \(n\) zéros ; l'exposant compte les zéros.
Mille = \(10^3\), un million = \(10^6\), un milliard = \(10^9\).
kilo = \(10^3\), méga = \(10^6\) : 1 km = 1 000 m, 1 kg = 1 000 g.
Entre deux puissances de 10, la plus grande a le plus grand exposant.
Pour comparer, on écrit tout en chiffres, on compte les chiffres, puis on compare de gauche à droite.

\(10^n\) en chiffres

1 suivi de \(n\) zéros.

Un million

\(10^6 = 1\,000\,000\), mille fois mille.

Un milliard

\(10^9 = 1\,000\,000\,000\), mille millions.

Le préfixe kilo

Mille : 1 km = \(10^3\) m.

Comparer \(10^a\) et \(10^b\)

Le plus grand est celui qui a le plus grand exposant.